경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2016 · #7
학년 8 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
선택지가 다섯 개이고 각각에 "완전제곱이냐" 만 따지면 되므로, 도구 #3(가능성 지우기)이 가장 자연스러운 출발점입니다. 판정 기준은 도구 #5(패턴 찾기)로 얻습니다 — 2², 2³, 2⁴, 2⁵ 같은 작은 경우를 직접 확인해 보면 "소수 a 의 거듭제곱 aⁿ 이 완전제곱 ⇔ n 이 짝수" 라는 규칙이 보입니다 (a²k = (a^k)² 이기 때문). 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 이 규칙을 작은 지수에서 먼저 확인해 안심하고 2016–2020에 적용하게 해 줍니다. 함정은 (D) — 밑 4가 소수가 아니므로, 소수 밑으로 지수 규칙을 쓰기 전에 4 = 2²으로 먼저 바꿔야 합니다.
완전제곱 판별법 찾기
작은 경우로 규칙을 세웁니다 — 소수의 거듭제곱 pⁿ은 n 이 짝수일 때만 완전제곱입니다 (2²은 제곱, 2³은 아님).
n = 2, 3, 4, 5를 밑 2 에서 직접 따져 보면 "짝수 지수 규칙" 이 추상적인 증명 없이도 눈에 보입니다 — 정확히 작은 경우로 줄이기.
6.EE.A.1Solve An Easier Related Problem선택지 A 확인하기
(A) 1²⁰¹⁶ = 1 = 1², 완전제곱이므로 (A) 지움.
1의 거듭제곱은 항상 1, 그리고 1 = 1² 이므로 당연히 제곱수.
6.EE.A.1Eliminate Possibilities선택지 B 확인하기
(B) 밑 2는 소수, 지수 2017은 홀수라 2²⁰¹⁷은 완전제곱이 아님. 후보지만 나머지 셋도 확인.
소수 밑에 지수가 홀수면, 소인수들을 똑같은 두 묶음으로 나눌 수 없습니다.
2²⁰¹⁷은 완전제곱수가 아니다.
▸ 왜?
완전제곱수는 어떤 자연수를 자기 자신과 곱한 수이고, 2의 거듭제곱을 제곱하면 그 안의 2의 개수가 두 배가 되므로, 완전제곱수인 2의 거듭제곱은 반드시 2를 짝수 개 가져야 한다 — 그러나 2²⁰¹⁷은 2를 홀수 개, 즉 2017개 가진다.
▸ 왜?
2²⁰¹⁷은 밑 2를 2017번 곱해 늘어놓은 것이므로 2를 정확히 2017개 가지며, 2017은 홀수이다.
▸ 왜?
2^m을 제곱하는 것은 2^m × 2^m이고, 이는 m개의 2 옆에 다시 m개의 2를 놓아 그 줄을 2m개로 두 배로 만든다 — 짝수 개다.
▸ 왜?
두 줄의 2들을 하나의 곱으로 합치고 인수를 다시 묶어도 곱은 변하지 않으므로, 2^m × 2^m은 실제로 2를 2m개 가진다.
▸ 왜?
완전제곱수의 두 똑같은 인수는 한 인수의 각 2를 그 쌍둥이 인수의 2 하나와 짝지을 수 있게 하므로, 2들은 완전한 쌍을 이루어 개수가 짝수가 된다; 홀수인 전체 2017은 언제나 짝 없는 2 하나를 남긴다.
선택지 C 확인하기
(C) 밑 3은 소수, 지수 2018은 짝수라 3²⁰¹⁸ = (3¹⁰⁰⁹)², 완전제곱. (C) 지움.
지수의 절반이 곧 그 수의 제곱근의 지수입니다.
6.EE.A.1Eliminate Possibilities선택지 D 확인하기
(D) 함정: 밑 4 = 2²은 소수 아님 → 4²⁰¹⁹ = (2²)²⁰¹⁹ = 2⁴⁰³⁸, 4038 짝수라 (2²⁰¹⁹)². (D) 지움.
밑 자체가 이미 제곱수면, 바깥 지수가 무엇이든 결과는 자동으로 제곱수입니다.
8.EE.A.1Eliminate Possibilities선택지 E 확인하기
(E) 밑 5는 소수, 지수 2020은 짝수라 5²⁰²⁰ = (5¹⁰¹⁰)², 완전제곱. 남는 것은 (B) 뿐.
다섯 중 넷이 모두 제곱수, 마지막으로 남는 (B)가 정답.
6.EE.A.1Eliminate Possibilities소수의 거듭제곱은 지수가 홀수면 절대 완전제곱이 될 수 없습니다 — 이 8학년 지수 규칙 하나만으로 (A)–(E) 중 "튀는 하나" 를 골라낼 수 있어요!
- 완전제곱 판별법 찾기
- 선택지 A 확인하기
- 선택지 B 확인하기
- 선택지 C 확인하기
- 선택지 D 확인하기
- 선택지 E 확인하기
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