AMC 8 · 2024 · #21

학년 4 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State

ratio-proportionlinear-equations-one-var systematic-enumeration ↑ 선수 지식: ratio-proportionmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

나무에 사는 개구리 무리가 있습니다. 그늘에 있는 개구리는 녹색, 햇볕에 있는 개구리는 노란색이 됩니다. 처음에는 녹색과 노란색 개구리의 비가 3 : 1 이었습니다. 그런 다음 녹색 개구리 3 마리가 햇볕 쪽으로 가서 노란색이 되고, 노란색 개구리 5 마리가 그늘 쪽으로 가서 녹색이 되었습니다. 이제 비가 4 : 1 이 되었습니다. 지금 의 녹색 개구리 수와 노란색 개구리 수의 차이를 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

참고 풀이는 변수 G, Y 로 연립방정식을 세우는 도구 #13 (대수) 을 씁니다. 하지만 "3:1"은 "노란색 1마리마다 녹색 3마리" 라는 뜻이므로, 처음 노란색 수가 정해지면 처음 녹색 수와 이동 후 두 수가 모두 한 번에 정해집니다. 그래서 가능한 처음 노란색 수를 작은 것부터 큰 것까지 차례로 추측해 확인하면(도구 #6) 곧바로 답이 나옵니다. 후보를 빠뜨림 없이 적기 위해 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)를, 4:1 조건을 어기는 경우를 제거하기 위해 도구 #3 (가능성 지우기)을 함께 씁니다. 이렇게 하면 초등학생도 곱셈만으로 풀 수 있고, 변수를 정의하고 연립방정식을 푸는 도구 #13 은 필요 없습니다.

1STEP 1

"3 : 1" 은 녹색이 노란색의 3 배 — 처음 쌍은 (1, 3), (2, 6), (3, 9), … 로 녹색이 항상 세 배.

처음 (Y, G) ∈ {(1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(5,15),(6,18),…} (녹색 = 3 × 노란색)

2STEP 2

녹색은 -3 + 5 = +2, 노란색은 +3 - 5 = -2 이므로 이동 후 (Y, G) 는 (Y - 2, G + 2) 가 됩니다.

이동 후 (Y_new, G_new) = (Y - 2, G + 2)

3STEP 3

이제 추측해 확인 — 이동 후 비가 4 : 1 이려면 G + 2 = 4 × (Y - 2) 여야 하고 Y ≥ 3.

확인 조건: G + 2 ?= 4 × (Y - 2)

4STEP 4

Y = 3,4,5,… 를 시험하면 비가 11,7,5,… 로 줄고, Y = 10 에서 (10,30) → (8,32), $\frac{32}{8}$ = 4.

Y=10: (10, 30)→(8, 32),

\frac{32}{8}

= 4 =

\frac{4}{1}

✓

5STEP 5

이동 후 녹색 32 에서 노란색 8 을 빼면 차이는 32 - 8 = 24, 정답 (E) 와 일치.

32 - 8 = 24 → (E)

정답

이동 후 비 4:1 은 "노란색 1 마리당 녹색 4 마리" 이므로, 노란색 8 마리에 대해 녹색은 4 × 8 = 32 마리. 차이는 32 - 8 = 24. 다른 시각에서도 검산됩니다 — 이동 후 비 4:1 에서 노란색을 1 묶음으로 보면 녹색은 4 묶음, 차이는 3 묶음. 한 묶음 크기가 8 이므로 차이 = 3 × 8 = 24. 두 방법 모두 24 로 일치하고, 선택지의 최댓값과 같다는 점도 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 곱셈 비교(" ∼ 의 몇 배")만 알면 풀려요!

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