경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2017 · #21
학년 7 algebralogic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
겉보기엔 복잡해 보이는 식도, 0이 아닌 x 에 대해 x/|x|=? 라는 더 쉬운 보조 문제(도구 #9)를 먼저 풀면 단번에 정리됩니다 — 각 항은 그저 +1 또는 -1의 부호일 뿐입니다. 그 다음 (a,b,c)의 부호 조합은 2³=8 가지뿐이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모두 적어 놓고, 조건 a+b+c=0을 이용해 모두 양수·모두 음수인 경우를 도구 #3(가능성 지우기)으로 걸러냅니다. 남는 두 가족(family)만 대칭성에 따라 한 번씩 계산하면 끝납니다.
부호 분수 간단히 하기
쉬운 항 x/|x| 는 x 가 양수면 +1, 음수면 -1 — 모든 항이 결국 +1 또는 -1 인 부호입니다.
절댓값은 부호를 떼어내는 연산이라, 어떤 수를 자기 절댓값으로 나누면 부호만 남습니다.
6.NS.C.7Solve An Easier Related Problem여덟 가지 부호 경우 나열하기
(a,b,c)의 부호 조합 8 가지를 음수 개수 순으로 적어 두고, 조건 a+b+c=0으로 걸러 냅니다.
부호 조합은 유한하므로, 순서를 정해 두고 차례로 적으면 빠뜨릴 일이 없습니다.
6.NS.C.5Make A Systematic List불가능한 경우 지우기
모두 양수면 합이 너무 크고 모두 음수면 너무 작아 둘 다 불가능 — 음수는 정확히 1 또는 2 개만 남습니다.
세 수의 합이 0이 되려면 부호가 섞여 있어야 한다는 사실이 조건 a+b+c=0의 의미입니다.
6.NS.C.5Eliminate Possibilities음수 하나인 경우 계산하기
가족 1(양수 2, 음수 1): 세 부호는 1+1-1=1, abc 는 음수라 항은 -1 — 합 0.
곱의 부호는 음수 인수의 개수로 결정되며, 음수가 홀수 개(여기서는 1 개)이면 곱은 음수가 됩니다.
a, b, c 중 둘이 양수이고 하나가 음수일 때, 식 a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc| 전체는 0이 된다.
▸ 왜?
이 식은 값이 +1인 부분과 -1인 부분으로 나뉘고, 1+(-1)=0 이기 때문이다.
▸ 왜?
세 변수항 a/|a|,b/|b|,c/|c| 의 합은 +1 인데, 변수 둘이 양수라 각각 +1 이고 하나가 음수라 그 항이 -1 이므로 1+1+(-1)=1 이기 때문이다.
▸ 왜?
0이 아닌 x 에 대해 x/|x| 는 x ＞ 0 이면 +1, x ＜ 0 이면 -1 이다: x 는 자신의 부호에 |x| 를 곱한 것이므로, x 를 |x| 로 나누면 그 곱셈이 되돌려져 부호만 남기 때문이다.
▸ 왜?
네 번째 항 abc/|abc| 는 -1 인데, 양수 두 개와 음수 한 개의 곱 abc 가 음수이기 때문이다.
▸ 왜?
먼저 양수 두 개를 곱하면 양수가 되고, 그 양수에 음수 한 개를 곱하면 음수가 된다.
▸ 왜?
양의 양이 든 같은 크기 묶음을 정수 개 쌓으면 전체가 양수가 되므로, 양수 곱하기 양수는 양수이다.
▸ 왜?
음의 양이 든 같은 크기 묶음을 정수 개 쌓으면 전체가 음수가 되므로, 양수 곱하기 음수는 음수이다.
음수 둘인 경우 계산하기
가족 2(양수 1, 음수 2): 부호는 1-1-1=-1, abc 는 양수라 +1 — 합은 또 0. 답은 (A).
음수 두 개를 곱하면 양수가 되므로 (+)(-)(-)는 양수가 되고, 결국 부호 합과 곱 부호가 서로 상쇄됩니다.
7.NS.A.2Solve An Easier Related Problem이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "양수·음수의 곱 부호 규칙" 만 알면 풀 수 있어요!
- 부호 분수 간단히 하기
- 여덟 가지 부호 경우 나열하기
- 불가능한 경우 지우기
- 음수 하나인 경우 계산하기
- 음수 둘인 경우 계산하기
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