AMC 10 · 2011 · #21

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

systems-of-equationspair-countinglogical-deduction systematic-enumeration ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

브라이언이 합이 $44$ 인 네 정수 $w > x > y > z$ 를 적는다. 이 수들의 쌍별 양의 차는 $1, 3, 4, 5, 6,$ 그리고 $9$ 이다. $w$ 가 가질 수 있는 값들의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 브라이언은 크기 순으로 줄어드는 네 정수 $w > x > y > z$를 적었고, 이들의 합은 $44$이다. 이 네 수에서 모든 두 수의 차(양수로)를 구하면 그 여섯 값이 정확히 $1, 3, 4, 5, 6, 9$이다. 가능한 $w$의 값을 모두 더하면 얼마인가?

주어진 것: $w > x > y > z$인 네 정수; $w + x + y + z = 44$; 여섯 개의 쌍별 양의 차가 $1, 3, 4, 5, 6, 9$; 선택지: $16,\ 31,\ 48,\ 62,\ 93$

구하는 것: 가능한 가장 큰 수 $w$의 값들과 그 합

이해

주어진 것: $w > x > y > z$인 네 정수; $w + x + y + z = 44$; 여섯 개의 쌍별 양의 차가 $1, 3, 4, 5, 6, 9$; 선택지: $16,\ 31,\ 48,\ 62,\ 93$

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

네 수는 오직 서로의 간격을 통해서만 작용하므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이웃 간격 세 개 $a=w-x$, $b=x-y$, $c=y-z$를 이름 붙인다. 그러면 여섯 개의 쌍별 차는 모두 연속한 간격들의 합이 되어 문제가 작은 방정식 몇 개로 바뀐다. 여섯 차를 모두 더하면 가운데 간격 $b$가 즉시 정해진다. 이어서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 남은 차들을 정리해 바깥 간격을 찾고, 도구 #3(가능성 지우기)로 정수가 되지 않는 배열을 걸러내면 $w$ 값을 더할 두 수 집합만 남는다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

이웃 간격 세 개에 이름 붙이기

네 수를 직접 다루는 대신 이웃 사이의 간격을 다룬다.
$a = w-x$, $b = x-y$, $c = y-z$로 두면 모든 쌍별 차가 이 간격들의 연속한 합이 된다.
폭이 좁은 것부터 넓은 것 순으로 $a$, $b$, $c$, 그리고 $w-y = a+b$, $x-z = b+c$, 마지막으로 $w-z = a+b+c$이다.
$9$가 주어진 차 중 가장 크고 $w-z$가 가장 넓은 폭이므로 $w - z = a+b+c = 9$이다.

$$a=w-x,\ b=x-y,\ c=y-z;\quad w-z=a+b+c=9$$

💡 수들은 간격을 통해서만 서로 작용하므로 간격에 이름을 붙이면 중요한 것이 모두 담긴다.

#4 변수 도입하기 7.EE.B.4 단계 2

여섯 차를 모두 더하기

여섯 차를 간격 형태로 쓰고 더하면 $a + b + c + (a+b) + (b+c) + (a+b+c) = 3a + 4b + 3c$이다.
이는 $3(a+b+c) + b = 3\cdot 9 + b = 27 + b$와 같다.
그런데 주어진 여섯 차의 합은 $1+3+4+5+6+9 = 28$이다.
따라서 $27 + b = 28$이 되어 가운데 간격은 $b = 1$로 정해진다.

$$3(a+b+c)+b = 27+b = 28 \;\Rightarrow\; b = 1$$

💡 가운데 간격 $b$는 합에서 한 번 더 나타나므로 전체 합에서 나머지를 빼면 드러난다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.EE.B.4 단계 3

바깥 간격 두 개 찾기

$b=1$이고 $a+b+c=9$이므로 바깥 간격은 $a + c = 8$을 만족한다.
남은 네 차 $\{3,4,5,6\}$은 정확히 $a$, $c$, $a+b = a+1$, $c+b = c+1$이어야 한다.
$\{3,4,5,6\}$에서 합이 $8$인 두 수를 찾으면 $3$과 $5$뿐이다.
확인하면 $a=3,c=5$일 때 $a+1=4$, $c+1=6$이 되어 $\{3,5,4,6\}$, 곧 남은 집합과 일치한다.
따라서 $\{a,c\} = \{3,5\}$이다.

$$a+c=8,\ \{a,\,c,\,a+1,\,c+1\}=\{3,4,5,6\}\;\Rightarrow\;\{a,c\}=\{3,5\}$$

💡 두 간격과 각 간격에 1을 더한 값이 네 칸을 채워야 하므로 합이 8인 짝만이 들어맞는다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.7 단계 4

각 간격 배열을 실제 수로 바꾸기

두 배열이 살아남는다.
각 수를 $w$로 쓰면 $x=w-a$, $y=w-a-b$, $z=w-9$이므로 합은 $4w-(3a+2b+c)=44$이다.
\n$a=3,b=1,c=5$일 때: $3a+2b+c = 9+2+5 = 16$이므로 $4w = 60$, $w=15$가 되어 $(15,12,11,6)$이다.
\n$a=5,b=1,c=3$일 때: $3a+2b+c = 15+2+3 = 20$이므로 $4w = 64$, $w=16$이 되어 $(16,11,10,7)$이다.

$$4w-(3a+2b+c)=44:\ w=15\ \text{또는}\ w=16$$

💡 간격이 정해지면 고정된 합 $44$가 가장 큰 수를 하나의 값으로 못 박는다.

#4 변수 도입하기 7.NS.A.1 단계 5

가능한 w 값 더하기

두 집합 모두 유효하다.
$(15,12,11,6)$의 차는 $\{3,4,9,1,6,5\}$, $(16,11,10,7)$의 차는 $\{5,6,9,1,4,3\}$으로 각각 정확히 $\{1,3,4,5,6,9\}$이고, 각 합은 $44$이다.
가능한 $w$의 값은 $15$와 $16$이므로 그 합은 $15 + 16 = 31$이다.
답은 $\textbf{(B)}$이다.

$$15 + 16 = 31$$

💡 두 간격 배열이 모두 진짜 해를 만들므로 두 최댓값이 모두 합에 들어간다.

[1] #4 6.EE.B.6 네 수를 직접 다루는 대신 이웃 사이의 간격을 다룬다. $a = w-x$, $b = x-y$, $c = y-z$로 두면 모든 쌍별 차가 이 간격

[2] #4 7.EE.B.4 여섯 차를 간격 형태로 쓰고 더하면 $a + b + c + (a+b) + (b+c) + (a+b+c) = 3a + 4b + 3c$이다. 이는 $

[3] #2 7.EE.B.4 $b=1$이고 $a+b+c=9$이므로 바깥 간격은 $a + c = 8$을 만족한다. 남은 네 차 $\{3,4,5,6\}$은 정확히 $a$, $c

[4] #3 6.EE.B.7 두 배열이 살아남는다. 각 수를 $w$로 쓰면 $x=w-a$, $y=w-a-b$, $z=w-9$이므로 합은 $4w-(3a+2b+c)=44$이다.

[5] #4 7.NS.A.1 두 집합 모두 유효하다. $(15,12,11,6)$의 차는 $\{3,4,9,1,6,5\}$, $(16,11,10,7)$의 차는 ${5,6,9,

검토

합리성 확인: 두 후보 집합 모두 모든 조건을 통과한다. 엄격히 감소하는 정수, 합 $44$, 쌍별 차가 정확히 $\{1,3,4,5,6,9\}$이다. 두 최댓값 $15$와 $16$은 $1$만큼 차이 나는데, 이는 두 배열 사이에서 역할이 바뀐 유일한 간격 $b=1$과 맞아떨어진다. 그 합 $31$은 선택지 (B)이다. 함정 답 $16$(선택지 A)은 두 $w$ 값 중 하나일 뿐이고, $48$, $62$, $93$은 최댓값이 많아야 약 $\tfrac{44}{4}+9$ 정도임을 생각하면 너무 크다.

대안 접근: 간격 변수를 쓰지 않고 수 자체로 따질 수도 있다. $w-z=9$와 $w+x+y+z=44$에서 $x+y = 44 - (w+z) = 44 - (2z+9) = 35 - 2z$를 얻는다. $w=z+9$가 가장 크도록 하는 작은 정수 $z$를 시험하면, $z=6$과 $z=7$만이 사이의 값 $x,y$가 필요한 차 집합을 만들게 하여 다시 $w=15$, $w=16$과 합 $31$을 준다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 문제를 풀 때 수를 나타내는 변수를 사용하고 식을 세우기 (이웃 간격 $a,b,c$에 이름을 붙이고 각 쌍별 차를 간격들의 합으로 표현함.)
7.EE.B.4 양을 변수로 나타내고 방정식을 세워 문제를 해결하기 (여섯 차를 더해 $b$를 구하고, 남은 차들을 맞춰 $a$와 $c$를 찾음.)
6.EE.B.7 x + p = q, px = q 꼴의 방정식을 세우고 풀어 문제 해결하기 (고정된 합 $4w-(3a+2b+c)=44$을 이용해 각 배열에서 $w$를 구함.)
7.NS.A.1 정수의 덧셈과 뺄셈에 대한 이해를 확장하여 적용하기 (각 정수 집합을 복원하고 그 쌍별 차와 합을 확인함.)

⭐ 수 자체 대신 이웃 사이의 간격을 추적하면, 모든 쌍별 차가 풀 수 있는 짧은 합으로 바뀐다.