AMC 10 · 2011 · #21

학년 7 logicalgebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
systems-of-equationspair-countinglogical-deduction systematic-enumeration ↑ 선수 지식: systems-of-equations
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
브라이언은 크기 순으로 줄어드는 네 정수 w ＞ x ＞ y ＞ z를 적었고, 이들의 합은 44이다. 이 네 수에서 모든 두 수의 차(양수로)를 구하면 그 여섯 값이 정확히 1, 3, 4, 5, 6, 9이다. 가능한 w의 값을 모두 더하면 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
16
(B)
31
(C)
48
(D)
62
(E)
93

AMC 10 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

네 수는 오직 서로의 간격을 통해서만 작용하므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이웃 간격 세 개 a=w-x, b=x-y, c=y-z를 이름 붙인다. 그러면 여섯 개의 쌍별 차는 모두 연속한 간격들의 합이 되어 문제가 작은 방정식 몇 개로 바뀐다. 여섯 차를 모두 더하면 가운데 간격 b가 즉시 정해진다. 이어서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 남은 차들을 정리해 바깥 간격을 찾고, 도구 #3(가능성 지우기)로 정수가 되지 않는 배열을 걸러내면 w 값을 더할 두 수 집합만 남는다.

1STEP 1

이웃 간격 세 개에 이름 붙이기

수 대신 간격을 보자. a = w-x, b = x-y, c = y-z이고 가장 넓은 폭이 w-z이므로 a+b+c = 9이다.

a=w-x, b=x-y, c=y-z; w-z=a+b+c=9
2STEP 2

여섯 차를 모두 더하기

여섯 차의 합은 간격으로 3(a+b+c) + b = 27 + b인데 실제 합이 28이므로 가운데 간격은 b = 1이다.

3(a+b+c)+b = 27+b = 28 → b = 1
3STEP 3

바깥 간격 두 개 찾기

그러면 a + c = 8이고, a, c, a+1, c+1이 남은 3, 4, 5, 6을 채워야 하니 a와 c는 3과 5뿐이다.

a+c=8, {a, c, a+1, c+1}={3,4,5,6} → {a,c}={3,5}
4STEP 4

각 간격 배열을 실제 수로 바꾸기

x=w-a, y=w-a-b, z=w-9을 4w-(3a+2b+c)=44에 넣으면 3,1,5는 w=15, 5,1,3은 w=16이다.

4w-(3a+2b+c)=44: w=15 또는 w=16
5STEP 5

가능한 w 값 더하기

(15,12,11,6)과 (16,11,10,7)이 모두 조건을 만족하므로 가능한 w의 합은 15 + 16 = 31, 곧 (B)이다.

15 + 16 = 31
정답
31
두 후보 집합 모두 모든 조건을 통과한다. 엄격히 감소하는 정수, 합 44, 쌍별 차가 정확히 {1,3,4,5,6,9}이다. 두 최댓값 15와 16은 1만큼 차이 나는데, 이는 두 배열 사이에서 역할이 바뀐 유일한 간격 b=1과 맞아떨어진다. 그 합 31은 선택지 (B)이다. 함정 답 16(선택지 A)은 두 w 값 중 하나일 뿐이고, 48, 62, 93은 최댓값이 많아야 약 44/4+9 정도임을 생각하면 너무 크다.
💡핵심 정리

수 자체 대신 이웃 사이의 간격을 추적하면, 모든 쌍별 차가 풀 수 있는 짧은 합으로 바뀐다.

  • 이웃 간격 세 개에 이름 붙이기
  • 여섯 차를 모두 더하기
  • 바깥 간격 두 개 찾기
  • 각 간격 배열을 실제 수로 바꾸기
  • 가능한 w 값 더하기

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