AMC 8 · 2017 · #23

학년 4 rate-rationumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

ratefactorssequences-arithmeticdivisibility-rules systematic-enumerationguess-and-check ↑ 선수 지식: ratefactorssequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

린다는 나흘 동안 매일 정확히 1 시간(= 60 분)씩 걷습니다. 첫째 날에는 1 마일을 가는 데 자연수 분(m₁)이 걸리고, 다음 날부터는 1 마일에 걸리는 시간이 매일 5 분씩 길어집니다(둘째 날은 m₁ + 5 분/마일, 셋째 날 m₁ + 10, 넷째 날 m₁ + 15). 매일 걸은 거리 또한 자연수 마일이라고 할 때, 네 날 동안 걸은 거리의 합을 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

거리가 자연수여야 한다는 조건 때문에 마일당 시간은 반드시 60 의 약수여야 합니다. 60 의 약수는 총 12 개밖에 안 되므로, 먼저 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 약수를 빠짐없이 적고, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 m₁ = 1, 2, 3, … 을 차례대로 대입하며 "m₁, m₁+5, m₁+10, m₁+15 가 모두 약수에 속하는가?" 를 확인합니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 거리 = (60 분)/(m 분/마일) 의 단위가 "마일" 로 깔끔히 떨어지는지 보장해 줍니다.

1STEP 1

60 분 동안 마일당 m 분이면 60/m 마일을 가므로, m 은 60 의 약수여야 합니다.

d_k = (60 분)/(m_k 분/마일) = 60/m_k 마일

2STEP 2

60 의 약수를 작은 수부터 모두 적습니다 — 네 페이스가 가질 수 있는 후보는 이것뿐입니다.

60 의 약수: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

3STEP 3

m₁ = 1, 2, 3 … 을 차례로 시험하면, 공차 5 로 네 항이 모두 60 의 약수가 되는 경우는 m₁ = 5 뿐입니다.

m₁=1 : (1,6,11,16) ✗ m₁=2 : (2,7,12,17) ✗ m₁=3 : (3,8,13,18) ✗ m₁=4 : (4,9,14,19) ✗ m₁=5 : (5,10,15,20) ✓

4STEP 4

m₁ = 5 이면 페이스 5, 10, 15, 20 분/마일은 매일 거리 12, 6, 4, 3 마일이 됩니다.

d₁=

\frac{60}{5}

=12, d₂=

\frac{60}{10}

=6, d₃=

\frac{60}{15}

=4, d₄=

\frac{60}{20}

5STEP 5

네 거리를 더하면 12 + 6 + 4 + 3 = 25 마일 → (C).

12 + 6 + 4 + 3 = 25 마일 → (C)

정답

결과의 현실성을 점검해 봅시다. 첫날 5 분/마일은 시속 12 마일의 가벼운 달리기, 넷째 날 20 분/마일은 시속 3 마일의 보통 걸음입니다. 페이스가 느려질수록 거리는 12 → 6 → 4 → 3 으로 줄어드는데, 시간이 매일 같고 페이스만 길어지므로 자연스러운 흐름입니다. 합 25 마일은 선택지 (C) 와 일치하고, 가까운 다른 후보 (50) 가 되려면 모든 거리가 두 배여야 하는데 m₁ = 10 이면 수열이 (10, 15, 20, 25) 가 되고 25 는 60 의 약수가 아니므로 다른 해는 존재하지 않습니다. 답은 유일하게 (C).

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 약수 찾기와 규칙대로 수열 만들기만 알면 풀 수 있어요!

비슷한 유형 더 풀어보기