AMC 8 · 2017 · #5

학년 4 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

factorsfraction-arithmeticsequences-arithmeticfactorial identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

분자는 1 부터 8 까지의 곱 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8, 분모는 같은 수들의 합 1+2+3+4+5+6+7+8 인 분수의 값을 구하고, 다섯 개의 선택지 중 어느 것에 해당하는지 고르는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1020

(B)

1120

(C)

1220

(D)

2240

(E)

3360

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

한 식 안에 "분모(합)" 와 "분자(곱)" 라는 서로 독립된 두 개의 작은 문제가 들어 있어서, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 "각각 구하고 나서 합치기" 가 그대로 들어맞습니다. 분모를 구할 때는 도구 #5(패턴 찾기) 가 빛납니다 — 1+2+…+n = $\frac{n(n+1)}{2}$ 라는 익숙한 패턴으로 $\frac{8 · 9}{2}$ = 36 을 바로 얻습니다. 분모를 손에 쥔 다음에는 분자를 끝까지 곱해 8! = 40320 을 만들지 말고, 세 번째 작은 문제로 "36 = 4 × 9 의 인수가 이미 분자 안에 들어 있다" 는 걸 찾아서 약분으로 해결합니다.

1STEP 1

분모를 먼저 구합니다: 양 끝을 짝지으면 9 짜리 네 쌍, 곧 1+…+8 = 36.

1+2+3+4+5+6+7+8 =

\frac{8 · 9}{2}

= 36

2STEP 2

구한 분모 36 을 다시 끼워 넣어, 곱 1·2·…·8 을 36 으로 나눈 식으로 바꿉니다.

\frac{1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8}{1+2+3+4+5+6+7+8}

\frac{1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8}{36}

3STEP 3

분모를 쪼갭니다: 36 = 4 × 3 × 3 — 그런데 분자에 4, 3, 6 = 2 × 3 이 이미 있습니다.

36 = 4 × 9 = 4 × 3 × 3

4STEP 4

인수를 약분하면(4, 그리고 3 과 6 = 2 · 3 의 두 3), 1 · 2 · 5 · 2 · 7 · 8 이 남습니다.

\frac{1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8}{36}

\frac{1 · 2 · 3 · 4 · 5 · (2 · 3) · 7 · 8}{4 · 3 · 3}

= 1 · 2 · 5 · 2 · 7 · 8

5STEP 5

남은 곱을 계산합니다. 2 × 5 = 10 을 먼저 묶으면 10 · 14 · 8 = 1120 — 선택지 (B).

(2 · 5) · (2 · 7) · 8 = 10 · 14 · 8 = 1120 → (B)

정답

1120

정직하게 끝까지 곱해서 확인해 봅시다: 8! = 40320, 40320 ÷ 36 = 1120 — 선택지 (B) 와 정확히 일치합니다. 크기 감각으로도 그럴듯한지 봅니다 —

\frac{40320}{36}

은 대략

\frac{40000}{40}

= 1000 근처여야 하므로 네 자리 수 중 1000 살짝 위인 답이 맞고, (D) 2240 이나 (E) 3360 처럼 큰 수는 크기부터 어색합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "인수쌍" 과 "동치 분수" 만 알면, 계산기 없이도 영리한 약분만으로 풀 수 있어요!

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