AMC 8 · 2017 · #6

학년 8 geometry-2drate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

angle-sum-triangleratio-proportion identify-subproblemsratio-proportion ↑ 선수 지식: ratio-proportionmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

어떤 삼각형의 세 내각의 크기가 3:3:4 의 비를 이룹니다. 이 세 각 중 가장 큰 각의 크기를 도(°) 단위로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 단계로 나눕니다 — (a) "비례 한 칸" 이 몇 도인지 먼저 구하고, (b) 그 한 칸 값을 가지고 가장 큰 각의 크기를 만든다. 3:3:4 의 비에는 3+3+4=10 개의 같은 칸이 들어 있고, 이 10 칸이 삼각형의 180° 를 나눠 가지므로 한 칸은 180° ÷ 10 으로 바로 나옵니다. 한 칸 크기만 알면 가장 큰 각(4 칸)은 곱셈 한 번으로 끝납니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 보조 도구로, 정답이 "4 칸짜리" 이려면 4 의 배수에 가까운 값이어야 하고 세 각의 합이 180° 가 돼야 한다는 두 조건으로 다른 선택지를 빠르게 걸러 줍니다.

1STEP 1

비의 부분을 더하면 3 + 3 + 4 = 10 칸이 180° 를 나눕니다.

3 + 3 + 4 = 10 칸

2STEP 2

삼각형 세 각의 합은 언제나 180° 이므로 한 칸은 180° ÷ 10 = 18° 입니다.

180° ÷ 10 = 18° (한 칸)

3STEP 3

가장 큰 각은 4 칸짜리이므로 4 × 18° = 72° 입니다.

4 × 18° = 72° → (D)

4STEP 4

확인: 54° + 54° + 72° = 180° 이므로 다른 보기는 모두 탈락합니다.

54° + 54° + 72° = 180° ✓

정답

세 각은 54°, 54°, 72° 로 나오는데, 모두 양수이고 모두 180° 보다 작으며 합이 정확히 180° 입니다. 작은 두 각이 같은 이등변삼각형이고, 가장 큰 각이 다른 두 각보다 살짝만 더 크다는 점은 3:3:4 라는 "균형 잡힌" 비와 잘 맞습니다. 가장 큰 각 72° 가 90° 보다 작으니 예각삼각형이며, 이는 3:3:4 라는 완만한 비가 만들어 내는 모양으로 자연스럽습니다. 정답 (D) 72° 는 크기가 적절합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 "삼각형 세 내각의 합 = 180°" 한 가지 사실만 알면 풀 수 있어요!

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