AMC 10 · 2016 · #7

학년 8 rate-ratio
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up
ratio-proportionsystems-of-equationscomplementary-angles convert-to-algebra ↑ 선수 지식: ratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 예각의 크기의 비가 5:4이다. 한 각의 여각이 다른 각의 여각의 두 배이다. 두 각의 크기의 합을 도(°) 단위로 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
75
(B)
90
(C)
135
(D)
150
(E)
270

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 변수 도입하기

비 5:4는 변수 하나를 심기에 자연스러운 자리다. 두 각을 5x와 4x로 쓰면 미지수 하나만 남는다(도구 #4). 그다음 두 가지 영어 조건 — '여각'과 '두 배' — 을 바로 대수로 옮긴다(도구 #13): 각 여각은 90에서 각을 뺀 값이고, '두 배'는 2를 곱한 등호다. 어느 여각이 더 큰지를 정하는 것은 작지만 핵심적인 부분 문제다(도구 #7): 큰 각의 여각이 더 작으므로, 두 배가 된 여각은 4x 각의 여각이어야 한다. 이것만 확정하면 일차방정식 하나로 x가 나온다.

1STEP 1

비로 각에 이름 붙이기

비 5:4는 단위 x를 공유하니 큰 각과 작은 각을 5x와 4x로 쓰면 미지수가 하나로 준다.

큰 각 = 5x, 작은 각 = 4x
2STEP 2

각 여각 쓰기

각 여각은 90에서 각을 뺀 값: 5x는 90 - 5x, 작은 4x는 더 큰 여각 90 - 4x.

90 - 5x (5x의 여각), 90 - 4x (4x의 여각)
3STEP 3

'두 배'를 방정식으로 바꾸기

큰 여각(4x의 것)이 작은 여각(5x의 것)의 두 배이므로 90 - 4x = 2(90 - 5x).

90 - 4x = 2(90 - 5x)
4STEP 4

부분 크기 구하기

전개해 모으면 90 - 4x = 180 - 10x, 따라서 6x = 90이고 x = 15.

90 - 4x = 180 - 10x → 6x = 90 → x = 15
5STEP 5

두 각 더하기

x = 15이면 두 각은 5x = 75°, 4x = 60°로 둘 다 예각, 합은 135. 답 (C).

5x + 4x = 9x = 9(15) = 135 = (C)
정답
135
두 각 75°와 60°는 모두 예각이고 비가 75:60 = 5:4로 문제와 일치한다. 여각은 각각 15°와 30°이며 30°는 정확히 15°의 두 배이므로 모든 조건이 성립한다. 합 135°는 선택지에 있고 180°보다 작아 두 예각의 합으로 타당하다.
💡핵심 정리

비를 x라는 같은 크기 부분으로 바꾸고, 평범한 말로 된 조건 하나하나를 방정식의 조각으로 만들어 보자.

  • 비로 각에 이름 붙이기
  • 각 여각 쓰기
  • '두 배'를 방정식으로 바꾸기
  • 부분 크기 구하기
  • 두 각 더하기

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