AMC 8 · 2017 · #8

학년 4 number-theorylogic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

prime-numbersmultiplesparitydigit-constraintslcm caseworksystematic-enumerationlogical-deduction ↑ 선수 지식: multiplesparityprimality-test

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

이사벨라의 집 번호는 두 자리 수입니다. 그 수에 대한 네 가지 문장 — (1) 소수이다, (2) 짝수이다, (3) 7 의 배수이다, (4) 자릿수 중 하나가 9 이다 — 중에서 정확히 세 개가 참이고 하나가 거짓입니다. 이 조건만으로 집 번호가 하나로 정해지며, 그 수의 일의 자리 숫자를 구해야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

네 문장 중 거짓이 정확히 하나라는 조건은 도구 #3(가능성 지우기) 에 딱 들어맞습니다 — 각 문장을 "거짓 후보" 로 두고 모순이 생기는 경우를 지워 나가면 됩니다. 두 자리 수라는 조건 아래에서 (1) "소수" 는 (2) "짝수"와 충돌하고(짝수인 소수는 2 뿐인데 한 자리), (3) "7 의 배수" 와도 충돌합니다(7 의 배수인 소수는 7 뿐인데 한 자리). 따라서 거짓이 될 수 있는 것은 (1) 뿐이고, (2)·(3)·(4) 는 모두 참이 됩니다. 그 다음은 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 의 차례 — lcm(2,7) = 14 의 두 자리 배수를 순서대로 적은 뒤 9 라는 자릿수를 가진 수만 남기면 됩니다.

1STEP 1

소수이면서 짝수인 두 자리 수는 2뿐인데 2는 한 자리라, (1) 과 (2) 는 동시에 참일 수 없다.

소수 ∩ 짝수 = {2}, 그리고 2 는 한 자리 수

2STEP 2

마찬가지로 7 의 배수이면서 소수인 수는 7뿐이고 한 자리라, (1) 과 (3) 도 동시에 참일 수 없다.

소수 ∩ 7 의 배수 = {7}, 그리고 7 은 한 자리 수

3STEP 3

(1) 이 참이면 (2) 와 (3) 이 모두 거짓이 되어 조건 위반이라, 거짓인 문장은 (1) 이고 (2)·(3)·(4) 는 참이다.

(1) 참 → (2), (3) 모두 거짓 — "거짓은 정확히 하나" 조건과 모순

4STEP 4

짝수이고 7 의 배수이면 lcm(2,7) = 14 의 배수라, 두 자리 배수를 나열하면 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98.

14, 28, 42, 56, 70, 84, 98

5STEP 5

그 목록에서 9 가 든 수는 98 뿐이라 집 번호는 98, 일의 자리는 8 — 선택지 (D).

98 → 일의 자리 = 8 → (D)

정답

98 이 네 문장 중 정확히 세 개를 만족하는지 확인합니다. (1) 소수? 98 = 2 × 49 이므로 합성수 — 거짓 (조건과 일치). (2) 짝수? 참. (3) 7 의 배수? 98 = 7 × 14 이므로 참. (4) 자릿수에 9? 십의 자리가 9 이므로 참. 거짓 하나, 참 셋으로 조건과 정확히 맞아떨어지고, 일의 자리 8 은 선택지 (D) 와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "소수와 배수" 개념만 알면 풀 수 있어요!

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