경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2018 · #22

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

similar-trianglesarea-trianglesratio-proportionarea-rectangles area-differenceidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-trianglesarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형 ABCD 에서 점 E 는 변 CD 의 중점이고, 선분 BE 는 대각선 AC 와 점 F 에서 만납니다. 네 꼭짓점 A, F, E, D 로 이루어진 사각형 AFED 의 넓이가 45 일 때, 정사각형 ABCD 전체의 넓이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

100

(B)

108

(C)

120

(D)

135

(E)

144

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림은 이미 주어져 있지만, 도구 #1(그림 그리기)의 핵심은 주어진 그림 위에 정보를 더 적는 것 입니다 — E 가 중점임을 표시하고 CE = ED = s/2 라 적으면, 큰 직각삼각형 △ ACD 안에 작은 직각삼각형 △ FCE 가 쏙 들어가 있다는 구조가 보입니다. 그러면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 자연스럽게 떠오릅니다 — 다루기 까다로운 사각형 AFED 는 "정사각형의 절반" 인 △ ACD 에서 작은 △ FCE 만 빼면 되므로, 결국 작은 삼각형 하나만 구하면 끝입니다. 점 F 의 위치는 대수 없이도 알 수 있도록 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 처리합니다 — E 가 중점이고 △ ACD 가 직각이라는 점을 살려 한 변을 s = 6으로 잡으면 좌표가 모두 정수가 되어 F 의 위치를 쉽게 찾을 수 있고, 거기서 얻은 비율은 어떤 s 에도 그대로 적용됩니다.

1STEP 1

편한 변의 길이 정하기

격자에 올려 s = 6으로 두면 좌표가 모두 정수: E=(3,0), CE = ED = 3 (도구 #9).

s = 6, CE = ED = 3

2STEP 2

두 선의 교점 구하기

AC(x+y=6)와 BE(y=2(x-3))를 연립하면 교점 F = (4, 2).

F = (4, 2), CD 로부터의 높이 y_F = 2 = s/3

F 의 좌표를 표시하는 것은 격자 위에서 두 선이 만나는 점을 찾는 5학년 그래프 그리기 그대로입니다.

대각선 AC와 선분 BE가 만나는 점 F는 아래변 CD에서 높이 s/3 위, 즉 정사각형 높이의 삼분의 일 지점에 있다.

▸ 왜?

F는 두 삼각형이 꼭짓점에서 맞닿아 공유하는 점이다 — 위변 AB에 매달린 큰 삼각형 FAB와 아래 조각 CE 위에 선 작은 삼각형 FCE — 그리고 이 두 삼각형은 닮음이므로, F에서 두 밑변까지 잰 두 높이를 포함해 대응하는 모든 길이가 하나의 같은 비로 묶여 있다.

▸ 왜?

두 삼각형은 각이 서로 같다: AB와 CE는 정사각형의 평행한 위변과 아래변에 놓여 있어, 대각선 AC와 선분 BE가 이들을 횡단선으로 가로지르며 같은 엇각을 만든다.

평행선의 횡단선은 같은 각을 만든다두 평행선을 가로지르는 선은 같은 위치의 동위각과 엇각을 서로 같게 만든다.

▸ 왜?

각이 같은 두 삼각형은 닮음이고, 그 닮음은 대응하는 모든 길이 — 밑변 AB와 CE, 그리고 F에서 내린 두 높이까지 — 을 하나의 일정한 비 k로 묶는다.

닮은 삼각형은 변이 비례각이 같은 삼각형은 닮음: 대응변은 일정한 비 k, 넓이는 k² 비다.

▸ 왜?

그 공유하는 비는 2 대 1인데, 큰 삼각형의 위변 AB는 정사각형의 온전한 한 변인 반면 작은 삼각형의 밑변 CE는 아래변의 절반뿐이기 때문이다 — E가 그 중점이다.

▸ 왜?

CE가 아래변의 절반인 이유는 중점 E가 CD를 합쳐서 온전한 한 변이 되는 두 개의 같은 조각으로 나누기 때문이며, 정사각형에서 그 변은 AB와 길이가 같다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

F에서 잰 높이가 2 대 1이므로, F는 정사각형의 전체 높이를 자기 위쪽 2개의 같은 부분과 아래쪽 1개의 같은 부분으로 나눈다. 따라서 F는 한 부분 — 높이의 삼분의 일, s/3 — 만큼 CD 위에 있다.

▸ 왜?

큰 삼각형의 높이와 작은 삼각형의 높이는 CD에서 AB까지 정사각형의 변을 빈틈도 겹침도 없이 정확히 채우므로, 그 2개 부분과 1개 부분은 온전한 한 변의 3개의 같은 부분이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

5.G.A.2Draw A Diagram

3STEP 3

넓이를 둘로 나누기

도구 #7: AC 가 정사각형을 반(△ ACD)으로 가르고, AFED 는 그 삼각형에서 모서리 △ FCE 만 뺀 모양.

[AFED] = [△ ACD] - [△ FCE]

4STEP 4

두 조각 넓이 구하기

s = 6 에서 [△ ACD] = $\frac{1}{2}$ ·6·6 = 18, [△ FCE] = $\frac{1}{2}$ ·3·2 = 3 이므로 [AFED] = 15.

[△ ACD] = 18, [△ FCE] = 3, [AFED] = 18 - 3 = 15

5STEP 5

비율로 되돌리기

시험 정사각형에서 $\frac{[AFED]}{[\square ABCD]}$ = $\frac{15}{36}$ = $\frac{5}{12}$ , $\frac{5}{12}$ ·넓이 = 45 → 넓이 = 108 → (B).

[AFED]/([□ ABCD]) = 15/36 = 5/12 → [□ ABCD] = 45 · 12/5 = 108 → (B)

정답

108

그림을 보면 AFED 는 정사각형의 "절반보다 약간 작은" △ ACD 의 대부분을 차지하므로 대략 전체의

\frac{1}{3}

정도입니다. 그래서 정사각형의 넓이는 3 × 45 = 135 보다 약간 작은 값이어야 하고, 계산한 108은 정확히 그 범위에 들어옵니다. 또

\frac{12}{5}

· 45 = 12 · 9 = 108이 깔끔한 정수로 떨어지는 것도, 대회 문제답게 답이 "정돈된 값" 으로 나오는 것과 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 비율 추론과 삼각형 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요!

편한 변의 길이 정하기
두 선의 교점 구하기
넓이를 둘로 나누기
두 조각 넓이 구하기
비율로 되돌리기

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편한 변의 길이 정하기

두 선의 교점 구하기

넓이를 둘로 나누기

두 조각 넓이 구하기

비율로 되돌리기

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