경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2018 · #24

학년 8 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremspatial-visualizationarea-trianglesformula-substitution identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremspatial-visualization

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

정육면체 ABCDEFGH 에서 C 와 E 는 서로 마주 보는 꼭짓점(공간대각선 양 끝)입니다. J 는 모서리 FB 의 중점, I 는 모서리 HD 의 중점이라 할 때, 네 점 E, J, C, I 가 만드는 단면 EJCI 의 넓이를 정육면체 한 면의 넓이로 나눈 비를 R 이라 합니다. R²의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{5}{4}$

(B)

$\frac{4}{3}$

(C)

$\frac{3}{2}$

(D)

$\frac{25}{16}$

(E)

$\frac{9}{4}$

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 직접 만져보기

도구 #10(직접 만져보기): 정육면체 단면 문제는 머릿속만으로 보기 어려우므로, 휴지갑 같은 직육면체를 손에 쥐고 E → J → C → I → E 를 손가락으로 그어 보는 것이 먼저입니다. 그러면 계산 전에 두 가지가 보입니다 — (가) 네 변의 길이가 같아 보이므로 EJCI 는 마름모일 것 같고, (나) 두 대각선은 공간대각선 EC와 가운데를 가로지르는 JI 라는 점입니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (1) EJCI 가 마름모임을 확인, (2) 두 대각선 길이 구하기, (3) 마름모 넓이 공식 1/2 d₁ d₂에 대입해 한 면 넓이로 나누기 의 세 단계로 분해합니다. 도구 #17(공간 상상하기)은 J, I 가 서로 마주 보는 수직 모서리 위에 있다는 점에서 JI가 밑면 대각선 BD와 평행하고 길이도 같다는 사실을 잡아 줍니다.

1STEP 1

정육면체 좌표 정하기

한 변을 s = 2로 잡고 C 를 원점에 두면 E = (2, 2, 2), J, I 도 정수 좌표로 떨어집니다.

C=(0,0,0), E=(2,2,2), J=(0,2,1), I=(2,0,1)

2STEP 2

네 변의 길이 구하기

3차원 거리 공식으로 네 변이 모두 EJ = JC = CI = IE = √(5) 로 같습니다.

EJ = √(2²+0²+1²) = √(5), JC = √(0²+2²+1²) = √(5), CI = √(2²+0²+1²) = √(5), IE = √(0²+2²+1²) = √(5)

3STEP 3

마름모임을 알아내기

네 변이 같으니 EJCI 는 마름모이고, 넓이는 두 대각선 곱의 절반 — 대각선은 EC 와 JI 입니다.

넓이(EJCI) = 1/2 · EC · JI

4STEP 4

두 대각선 구하기

공간대각선 EC = 2√(3) 이고, JI 는 수평면에 있어 밑면 대각선과 같은 2√(2) 입니다.

EC = √(2²+2²+2²) = √(12) = 2√(3), JI = √(2²+(-2)²+0²) = √(8) = 2√(2)

두 대각선 길이도 같은 3차원 거리 공식 한 번 더 — 좌표 위 피타고라스 그대로입니다.

이 마름모의 두 대각선은 정육면체의 공간대각선 EC = s√(3) 와 중점을 잇는 선분 JI = s√(2) 이며, JI 는 면 대각선의 길이를 가진다.

▸ 왜?

EC 는 정육면체의 마주 보는 꼭짓점 C 와 E 를 잇는 공간대각선이다. 이것은 직각삼각형 △ CAE 의 빗변이며, 서로 수직인 두 변은 밑면 대각선 CA (길이 s√(2)) 와 수직 모서리 AE (길이 s) 이므로, EC² = (s√(2))² + s² = 3s² 이고 EC = s√(3) 이다.

▸ 왜?

면 대각선 CA 와 모서리 AE 는 점 A 에서 직각으로 만나고, EC 는 그 직각의 맞은편 빗변이므로, 두 변의 제곱의 합은 EC² 과 같다.

피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).

▸ 왜?

변 CA 의 길이가 s√(2) 인 것은, 그 자체가 정사각형 밑면의 서로 수직인 두 모서리(각각 길이 s)를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이기 때문이며, 그래서 CA² = s² + s² = 2s² 이다.

피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).

▸ 왜?

JI 는 면 대각선의 길이인 s√(2) 를 가진다. J 와 I 가 직사각형 FBDH 의 두 짧은 변 FB 와 HD 의 중점이고, 이 중점을 잇는 선분은 직사각형의 긴 변 FH, BD 와 평행하며 길이가 같기 때문이다.

▸ 왜?

JI 와 면 대각선 BD 는 같은 방향을 가리키며 끝과 끝이 맞으므로, JI 는 늘어남 없이 BD 위로 그대로 미끄러져 포개진다.

▸ 왜?

미끄러뜨리면 JI 가 BD 위에 정확히 포개지고, 미끄러뜨리기는 길이를 바꾸지 않으므로 둘은 같다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

BD 는 정사각형 면의 대각선으로, 서로 수직인 두 모서리 BC 와 CD 를 가로지르므로 BD² = s² + s² = 2s² 이고 BD = s√(2) 이다.

▸ 왜?

BD 는 서로 수직인 두 모서리 BC 와 CD 를 두 변으로 하는 직각삼각형 △ BCD 의 빗변이므로, 두 변의 제곱의 합은 BD² 과 같다.

피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).

8.G.B.8Visualize Spatial Relationships

5STEP 5

면 넓이로 나누기

마름모 넓이 = 2√(6), 한 면 넓이 4로 나누면 R = $\frac{\sqrt{6}}{2}$ , 제곱하면 R² = $\frac{3}{2}$ .

넓이(EJCI) = 1/2(2√(3))(2√(2)) = 2√(6). R = 2√(6)/4 = √(6)/2. R² = 6/4 = 3/2 → (C)

정답

3/2

R² =

\frac{3}{2}

라는 결과는 단면의 넓이가 한 면의 약 1.5 배, 즉 길이로는 R =

\frac{\sqrt{6}}{2}

≈ 1.225 배라는 뜻입니다. 단면이 C 에서 E 까지 공간대각선 방향으로 비스듬히 잘려 한 면보다 눈에 띄게 크되 지나치게 크진 않은 마름모이므로 타당합니다. 선택지 (E)

\frac{9}{4}

라면 단면이 한 면의 2.25 배라는 뜻인데, 두 중점에 묶인 마름모치고 너무 큽니다. (A)

\frac{5}{4}

는 공간대각선 방향으로의 늘어남을 거의 반영하지 않아 너무 작습니다.

\frac{3}{2}

가 적절한 위치입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 "좌표 위 두 점 사이 거리 = √((Δ x)² + (Δ y)² + (Δ z)²)" 한 줄만 알면 풀 수 있어요!

정육면체 좌표 정하기
네 변의 길이 구하기
마름모임을 알아내기
두 대각선 구하기
면 넓이로 나누기

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정육면체 좌표 정하기

네 변의 길이 구하기

마름모임을 알아내기

두 대각선 구하기

면 넓이로 나누기

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