AMC 8 · 2018 · #25

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

exponentsperfect-squaresbound-inequality-then-enumerate bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: exponentsmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

2⁸ + 1 이상 2¹⁸ + 1 이하의 닫힌 구간에 들어가는 완전세제곱수 n³ (단, n 은 양의 정수) 의 개수를 구하는 문제입니다. 양 끝값이 완전세제곱수이면 그것도 포함해서 셉니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

"구간 [L, U] 안에 완전세제곱수가 몇 개 있나?" 라는 질문은 자연스럽게 세 개의 작은 문제로 쪼개집니다 (도구 #7): (가) n_min³ ≥ L 을 만족하는 가장 작은 정수 n_min, (나) n_max³ ≤ U 를 만족하는 가장 큰 정수 n_max, (다) n_min 부터 n_max 까지의 정수 개수. (가) 의 아래쪽 경계 257 은 충분히 작아서 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 6³, 7³ 을 시험하면 바로 잡힙니다. (나) 의 위쪽 경계 2¹⁸+1 은 겁나 보이지만, 도구 #9(더 쉬운 형태로 바꾸기)로 핵심 트릭이 보입니다 — 18 = 6 × 3 이므로 2¹⁸ = (2⁶)³ = 64³, 즉 위쪽 경계 바로 아래에 완전세제곱수 64³ 이 떡하니 놓여 있습니다.

1STEP 1

작은 문제 (가): 2⁸+1 = 257 을 구하고, 작은 세제곱을 시험 — 6³=216 은 작고 7³=343 은 넘깁니다.

6³ = 216 ＜ 257, 7³ = 343 ≥ 257

2STEP 2

구간 안 가장 작은 세제곱수는 7³ = 343; 밑이 6 이하면 257 보다 작으므로 n_min = 7.

n_min = 7

3STEP 3

작은 문제 (나): 2¹⁸ 을 직접 계산하지 말고 18 = 6×3 로 2¹⁸ = (2⁶)³ = 64³, 위쪽 경계는 64³+1.

2¹⁸ = (2⁶)³ = 64³, 위쪽 경계 = 64³ + 1

4STEP 4

비교하면 64³ ≤ 64³+1 은 포함, 65³ ＞ 64³+1 은 제외 — 가장 큰 밑은 n_max = 64.

n_max = 64

5STEP 5

작은 문제 (다): 정수 n = 7, 8, …, 64 세기. 양 끝 포함 개수는 64 − 7 + 1 = 58, 선택지 (E).

64 - 7 + 1 = 58 → (E)

정답

가장 작은 세제곱수는 7³, 가장 큰 것은 64³ 이고, 개수는 64 - 7 + 1 = 58 — 정확히 (E) 와 일치합니다. "하나 차이" 검산: 7 부터 64 까지는 64 - 7 = 57 칸의 간격이 있고, 양 끝을 모두 세기 때문에 +1 을 해 58 이 됩니다. 이로써 (A) 4, (B) 9, (C) 10 은 너무 작아서 즉시 탈락 (구간이 257 부터 약 260,000 까지 펼쳐지므로 세제곱수가 그 정도 많이 들어갈 수밖에 없습니다). 남는 함정은 (D) 57 인데, 이는 양 끝 포함의 +1 을 빠뜨리는 실수 — "이상·이하" 조건을 떠올리면 (E) 가 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 지수 법칙 — (2⁶)³ = 2¹⁸ 같은 — 만 알면 풀 수 있어요!

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