경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2018 · #25
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AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"구간 [L, U] 안에 완전세제곱수가 몇 개 있나?" 라는 질문은 자연스럽게 세 개의 작은 문제로 쪼개집니다 (도구 #7): (가) n_min³ ≥ L 을 만족하는 가장 작은 정수 n_min, (나) n_max³ ≤ U 를 만족하는 가장 큰 정수 n_max, (다) n_min부터 n_max 까지의 정수 개수. (가)의 아래쪽 경계 257은 충분히 작아서 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 6³, 7³을 시험하면 바로 잡힙니다. (나)의 위쪽 경계 2¹⁸+1은 겁나 보이지만, 도구 #9(더 쉬운 형태로 바꾸기)로 핵심 트릭이 보입니다 — 18 = 6 × 3 이므로 2¹⁸ = (2⁶)³ = 64³, 즉 위쪽 경계 바로 아래에 완전세제곱수 64³이 떡하니 놓여 있습니다.
가장 작은 세제곱수 찾기
작은 문제 (가): 2⁸+1 = 257 을 구하고, 작은 세제곱을 시험 — 6³=216은 작고 7³=343은 넘깁니다.
2⁸과 작은 자연수의 세제곱을 계산하는 것은 "자연수 지수가 들어간 수식의 값 구하기" 로, 6학년 수준 표준입니다.
6.EE.A.1Guess And Check아래쪽 지수 정하기
구간 안 가장 작은 세제곱수는 7³ = 343; 밑이 6 이하면 257 보다 작으므로 n_min = 7.
n³ ≥ 257을 만족하는 가장 작은 n 을 고르는 것은 부등식을 값 대입으로 푸는 6학년 작업입니다.
6.EE.B.5Identify Subproblems위쪽 한계 다시 쓰기
작은 문제 (나): 2¹⁸을 직접 계산하지 말고 18 = 6×3로 2¹⁸ = (2⁶)³ = 64³, 위쪽 경계는 64³+1.
2¹⁸을 (2⁶)³으로 바꿔 쓰는 것은 정수 지수 법칙 (a^m)ⁿ = a^mn — 8학년 개념으로, 무식한 계산을 피하게 해 줍니다.
상한 2¹⁸+1은 완전세제곱수 64³보다 정확히 1 큰 수인데, 이는 2¹⁸ 자체가 64³과 같기 때문이다.
▸ 왜?
두 부분을 모두 2로 바꿔 보면 드러난다: 밑 64는 2⁶이고, 이를 세제곱하면 2가 모두 열여덟 개 늘어서므로 64³ = 2¹⁸이다.
▸ 왜?
밑 64는 밑 2를 자기 자신에 여섯 번 곱해서 만든 수이고, 그 반복 곱셈을 간단히 적은 것이 바로 2⁶이 뜻하는 바다.
▸ 왜?
2⁶을 세제곱한다는 것은 그 복사본 세 개를 곱하는 것, 2⁶ · 2⁶ · 2⁶이므로 그 안의 2는 6+6+6개가 된다.
▸ 왜?
여섯 개짜리 2의 묶음 세 개를 빠짐도 중복도 없이 이어 붙이면, 전체 개수는 부분을 더한 6+6+6이다.
▸ 왜?
6을 세 번 더하는 것은 6 × 3 = 18과 같은데, 곱셈은 같은 크기 묶음을 거듭 더하는 것이기 때문이다.
가장 큰 세제곱수 찾기
비교하면 64³ ≤ 64³+1은 포함, 65³ ＞ 64³+1은 제외 — 가장 큰 밑은 n_max = 64.
n³ ≤ 64³ + 1을 만족하는 가장 큰 n 을 찾는 것도 같은 부등식 시험 작업입니다.
6.EE.B.5Identify Subproblems범위 안 개수 세기
작은 문제 (다): 정수 n = 7, 8, …, 64 세기. 양 끝 포함 개수는 64 − 7 + 1 = 58, 선택지 (E).
두 값 사이(양 끝 포함)에 정수가 몇 개 있는지 세는 것은 4학년 "여러 단계 자연수 문장제" 표준입니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 지수 법칙 — (2⁶)³ = 2¹⁸ 같은 — 만 알면 풀 수 있어요!
- 가장 작은 세제곱수 찾기
- 아래쪽 지수 정하기
- 위쪽 한계 다시 쓰기
- 가장 큰 세제곱수 찾기
- 범위 안 개수 세기
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