AMC 8 · 2018 · #5

학년 4 arithmeticpattern

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

sequences-arithmeticpattern-recognitionparity pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticsequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

식 1+3+5+…+2017+2019 - (2+4+6+…+2016+2018) 의 값을 구하세요. 즉 1 부터 2019 까지의 모든 홀수를 더한 뒤, 2 부터 2018 까지의 모든 짝수를 빼는 식입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-1010

(B)

-1009

(C)

1008

(D)

1009

(E)

1010

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

식은 길지만 "+홀수, -짝수" 가 규칙적으로 반복되는 구조가 보입니다. 도구 #5(패턴 찾기) 가 딱 맞는데, (1-2)+(3-4)+(5-6)+… 처럼 다시 묶으면 모든 짝의 값이 같다는 점을 이용할 수 있습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로는 1+3+5-2-4 같은 작은 버전에서 같은 구조가 통하는지 먼저 확인해 두면 안심하고 큰 식에 적용할 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 식을 (a) 짝지어진 부분, (b) 마지막 외톨이 항 2019, (c) 짝의 개수 세기 — 세 조각으로 깔끔히 나눠 줍니다.

1STEP 1

작게 먼저: 1+3+5-2-4 를 (1-2)+(3-4)+5 로 묶으면 = 3. 짝은 모두 같고 마지막 홀수만 짝꿍 없이 남습니다.

1+3+5-2-4 = (1-2)+(3-4)+5 = -1-1+5 = 3

2STEP 2

이제 전체 식도 똑같이 묶습니다: (1-2)+(3-4)+…+(2017-2018), 마지막 2019 만 짝 없이 남습니다.

[(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2017-2018)] + 2019

3STEP 3

어떤 짝이든 (홀수) - (뒤 짝수) = 홀수 - (홀수+1) = -1, 즉 짝마다 1 씩 모자랍니다.

1-2=-1, 3-4=-1, 5-6=-1, …, 2017-2018=-1

4STEP 4

짝의 개수 세기: 각 짝은 {2,4,…,2018} 의 짝수 하나를 쓰고, 2 로 나누면 {1,…,1009} 이므로 1009 개의 짝입니다.

2018 ÷ 2 = 1009 개의 짝

5STEP 5

한 줄로 마무리: 외톨이 2019 에서 짝 1009 개의 모자란 1 씩을 빼면 2019 - 1009, 이것이 답입니다.

2019 - 1009 = 1010 → (E)

정답

1010

홀수 쪽이 짝수 쪽보다 항이 하나 많고(그 항이 2019), 짝지어진 부분은 각 짝마다 1 씩 모자라므로, 답은 "2019 - (짝의 개수)" 정도가 되어야 자연스럽습니다. 실제로 짝 (1,2),(3,4),…,(2017,2018) 이 1009 개이고 각 1 씩 모자라므로 2019 - 1009 = 1010. 양수이며 1009 보다 살짝 큰 값이라 (E) 와 일치하고, 음수 선택지 (A), (B) 는 자동으로 배제됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "패턴 찾기" 와 여러 자리 수의 뺄셈만 알면 풀 수 있어요!

비슷한 유형 더 풀어보기