AMC 8 · 2019 · #13

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

multiplesdivisibility-rulesdigit-constraintssystematic-enumeration systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: multiplesdivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

회문(palindrome)은 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 같은 수입니다 (예: 12321). N 을 다음 두 조건을 모두 만족하는 가장 작은 세 자리 정수라고 합시다 — (1) N 자체는 회문이 아니다, (2) N 은 서로 다른 두 자리 회문 세 개의 합으로 나타낼 수 있다. 이 N 의 자릿수의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

두 자리 회문은 11, 22, 33, …, 99 단 아홉 개뿐이라, 도구 #5(패턴 찾기) 로 "전부 11 의 배수" 라는 핵심 패턴을 곧바로 잡아낼 수 있습니다. 이 한 가지 관찰만으로 N 도 반드시 11 의 배수임이 보장되어, 세 자리 수 900 개의 후보가 매우 짧은 목록으로 줄어듭니다. 이어서 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 세 자리 11 의 배수를 작은 것부터 (110, 121, 132, …) 차례로 적어 회문이 아닌 가장 작은 후보를 골라냅니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 그 후보가 정말로 서로 다른 두 자리 회문 세 개의 합으로 만들어지는지 검산합니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 까지 가지 않아도 충분히 깔끔하게 풀리는 길입니다.

1STEP 1

두 자리 회문을 전부 나열합니다 — 두 자리가 같아야 하므로 아홉 개뿐입니다.

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}

2STEP 2

패턴 발견 — 각 회문 aa 는 10a + a = 11a 이므로 아홉 개 모두 11 의 배수입니다.

aa = 10a + a = 11a

3STEP 3

N 은 11 의 배수 세 개의 합이므로 N 도 11 의 배수 — 세 자리 11 의 배수만 살피면 됩니다.

N = 11k₁ + 11k₂ + 11k₃ = 11(k₁ + k₂ + k₃)

4STEP 4

세 자리 11 의 배수를 훑으면 110 은 회문 아님(121 은 회문) — 가장 작은 후보는 110.

110, 121, 132, … ⟹ 회문이 아닌 가장 작은 후보 = 110

5STEP 5

110 이 되는지 확인 — 11 + 22 + 77 = 110, 서로 다른 두 자리 회문 세 개입니다.

11 + 22 + 77 = 110

6STEP 6

N = 110 의 자릿수를 더하면 1 + 1 + 0 = 2 → (A).

1 + 1 + 0 = 2 → (A)

정답

선택지 (A) ∼ (E) 가 모두 한 자리 수(2 부터 6 까지) 라는 점은 N 이 자릿수 합이 작은 세 자리 수라는 뜻과 잘 맞고, 1 + 1 + 0 = 2 가 (A) 와 일치합니다. 혹시 더 작은 N 을 놓치진 않았는지 확인해 보면 — 두 자리 회문이 모두 11 의 배수라서 그 합도 11 의 배수여야 하는데, 110 보다 작은 세 자리 11 의 배수는 없습니다. 따라서 N = 110 은 강제되고, 자릿수 합 2 가 정답입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "배수" 만 알면 풀 수 있어요 — 두 자리 회문이 모두 11 의 배수라는 사실 하나만 잡으면 답이 술술 나옵니다!

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