AMC 8 · 2019 · #22

학년 7 rate-ratioalgebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

percentageperfect-squareslinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

셔츠의 원래 가격을 어떤 비율 x% 만큼 올린 뒤, 올라간 새 가격을 같은 비율 x% 만큼 내렸더니 최종 가격이 원래 가격의 84% 가 되었습니다. x 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

객관식 백분율 문제이고 후보가 다섯 개뿐이라 직접 확인이 가장 빠릅니다. 각 선택지 x 에 대해 두 변동을 곱한 "전체 배율" (1 + $\frac{x}{100}$ ) × (1 - $\frac{x}{100}$ ) 이 0.84 인지 보면 됩니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 후보를 대입하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 맞지 않는 선택지를 지웁니다. 시작 전에 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 x = 10 같은 작은 예를 먼저 풀어 보면, "같은 비율로 올렸다 내리면 원래 가격으로 돌아오지 않는다" 는 이 문제의 핵심 직관이 만들어집니다.

1STEP 1

몸풀기: 100 에서 x = 10 이면 인상 후 110, 인하 후 99 로 원래의 99%. 같은 비율 인상·인하는 항상 100% 아래.

100 → 110 → 99 = 원래의 99%

2STEP 2

규칙 정리: 인상은 (1 + $\frac{x}{100}$ ), 이어진 인하는 (1 − $\frac{x}{100}$ ) 을 곱하므로 최종 배율은 두 인수의 곱.

전체 배율 = (1 +

\frac{x}{100}

) (1 -

\frac{x}{100}

)

3STEP 3

선택지 (A) x = 16: 배율 1.16 × 0.84 ≈ 0.97, 0.84 보다 훨씬 커서 (A) 탈락.

1.16 × 0.84 ≈ 0.974 ≠ 0.84

4STEP 4

선택지 (B) x = 20: 배율 1.20 × 0.80 = 0.96, 아직 0.84 보다 커서 (B) 탈락.

1.20 × 0.80 = 0.96 ≠ 0.84

5STEP 5

가장 큰 (E) x = 40 로 점프: x 가 클수록 배율이 작아지고, 1.40 × 0.60 = 0.84 정확히 일치 — 답 (E).

1.40 × 0.60 = 0.84 ✓ → (E) 40

정답

준비 단계의 x = 10 은 0.99 (아주 살짝 감소) 였는데, 이 문제는 0.84 까지 떨어졌으니 x 가 10 보다 훨씬 커야 합니다. 다섯 선택지 중 그 범위에 해당하는 것은 x = 40 뿐이고, 1.40 × 0.60 = 0.84 는 반올림 없이 정확히 맞습니다. 나머지 선택지 (16, 20, 28, 36) 의 전체 배율은 모두 0.84 보다 크므로 (E) 가 유일한 답임을 확인합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "같은 비율로 올렸다 내려도 원래 가격으로 돌아오지 않는다" 는 백분율 추론만 알면 풀 수 있어요!

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