AMC 8 · 2019 · #23

학년 6 number-theoryalgebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

lcmmultiplesfraction-arithmeticlinear-equations-one-var convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: lcmfraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

유클리드 고등학교 농구팀의 총 득점을 T 라고 합시다. 알렉사가

\frac{1}{4}

T, 브리트니가

\frac{2}{7}

T 를 넣었고, 첼시는 15 점을 넣었습니다. 나머지 7 명은 각자 최대 2 점까지만 넣었다고 할 때, 이 7 명이 넣은 점수의 합 X 를 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

$\frac{1}{4}$ T 와 $\frac{2}{7}$ T 가 모두 자연수가 되려면 T 는 4 와 7 의 공배수, 즉 lcm(4,7) = 28 의 배수여야 합니다. 그러면 가능한 T 의 후보는 28, 56, 84, … 라는 아주 짧은 목록으로 줄어드니, 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 후보를 하나씩 대입해 알렉사 + 브리트니 + 첼시를 빼고, 남은 X 가 0 ≤ X ≤ 14 를 만족하는지 보면 끝입니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 X 가 음수가 되거나 14 를 넘는 후보를 잘라 주고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 "점수 총량", "세 명의 주연", "나머지 일곱 명" 으로 깔끔하게 항을 나누어 줍니다.

1STEP 1

득점을 세 명의 주연과 나머지 일곱 명으로 나누면, 네 조각의 합이 T 가 돼요.

\frac{1}{4}

T_알렉사 +

\frac{2}{7}

T_브리트니 + 15_첼시 + X₇명 = T

2STEP 2

자연수 득점 조건 때문에 $\frac{1}{4}$ T 와 $\frac{2}{7}$ T 가 정수여야 하고, T 는 4 와 7 로 나누어떨어지는 28 의 배수예요.

T ∈ {28, 56, 84, 112,…}

3STEP 3

나머지 일곱 명의 몫은 $\frac{13}{28}$ T − 15 점이고 많아야 14 점이니, $\frac{13}{28}$ T − 15 ≤ 14 에서 T ≤ 62 가 나와요.

\frac{13}{28}

T - 15 ≤ 14 ⟹ T ≤ 62.46…

4STEP 4

28 의 배수라는 조건과 T ≤ 62 를 함께 걸면, 확인할 후보는 T = 28 또는 T = 56 둘뿐이에요.

T 후보: {28, 56}

5STEP 5

T = 28 이면 알렉사 7 + 브리트니 8 + 첼시 15 = 30 으로 28 을 넘겨 X = -2 가 되니, 불가능해서 기각해요.

T = 28 → X = 28 - (7 + 8 + 15) = -2 ＜ 0 — 기각.

6STEP 6

T = 56 이면 알렉사 14 + 브리트니 16 + 첼시 15 = 45 이므로 나머지는 X = 11 이고 0 ≤ 11 ≤ 14 도 만족해요.

T = 56 → X = 56 - (14 + 16 + 15) = 11 → (B)

정답

답 X = 11 이 실제로 만들 수 있는 점수인지 확인합니다. 7 명이 각자 최대 2 점이라는 조건 아래 11 점을 만드는 방법은 충분히 있습니다 — 예를 들어 4 명이 2 점씩, 3 명이 1 점씩 넣으면 4 × 2 + 3 × 1 = 11. 최종 합계도 14 + 16 + 15 + 11 = 56 = T 로 딱 맞습니다. 그 다음 후보였던 T = 84 는 나머지 7 명에게

\frac{13}{28}

(84) - 15 = 39 - 15 = 24 점을 요구해 14 점 한도를 넘기므로 불가능하고, 따라서 T = 56 이 유일한 해임이 다시 확인됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 최소공배수만 알면 풀 수 있어요 — T 가 4 와 7 의 공배수, 즉 28 의 배수여야 한다는 사실 하나로 가능한 답이 단숨에 줄어듭니다!

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