AMC 8 · 2019 · #4

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

perimeterpythagorean-theoremarea-triangles identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremperimeterarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

마름모 ABCD의 둘레가 52 미터이고, 한 대각선 AC의 길이가 24 미터입니다. 이 마름모의 넓이는 몇 제곱미터일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

105

(D)

120

(E)

144

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

2차원 도형 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)부터 출발하는 것이 자연스럽습니다 — 마름모를 그리고 두 대각선을 그어 교점을 표시합니다. 두 대각선이 그어지면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 길이 또렷해집니다. 마름모는 네 개의 합동인 직각삼각형으로 나뉘므로, 문제는 (1) 둘레로 한 변 구하기, (2) 직각삼각형으로 모르는 반쪽 대각선 구하기, (3) 두 대각선을 넓이 공식에 넣기 — 이렇게 세 개의 작은 단계로 자연스레 분해됩니다.

1STEP 1

마름모는 네 변이 같으므로 둘레를 4로 나누면 한 변은 13 미터입니다.

한 변 =

\frac{52}{4}

= 13 미터

2STEP 2

두 대각선은 마름모를 네 직각삼각형으로 나누고 교점 M에서 만나며, AC의 절반인 AM은 12 미터입니다.

AM =

\frac{AC}{2}

\frac{24}{2}

= 12 미터

3STEP 3

직각삼각형 AMB에서 빗변 AB=13, 한 다리 AM=12이므로 피타고라스 정리로 BM = 5 미터입니다.

AM² + BM² = AB² → 12² + BM² = 13² → BM² = 169 - 144 = 25 → BM = 5

4STEP 4

대각선은 서로 이등분하므로 BM을 두 배 하면 두 번째 대각선 BD = 10 미터입니다.

BD = 2 × BM = 2 × 5 = 10 미터

5STEP 5

마름모 넓이는 두 대각선의 곱의 절반: $\frac{1}{2}$ × 24 × 10 = 120 제곱미터입니다.

넓이 =

\frac{1}{2}

× d₁ × d₂ =

\frac{1}{2}

× 24 × 10 = 120 제곱미터 → (D)

정답

120

직관 확인: 마름모는 두 대각선이 만드는 24 × 10 직사각형 안에 꼭 들어가는데, 그 직사각형의 넓이는 240 입니다. 마름모는 그 직사각형의 정확히 절반(네 직각삼각형이 직사각형의 절반을 채움)이므로 120 제곱미터가 나옵니다. 또 60 (납작한 마름모) 과 144 (한 변이 12 인 정사각형 가정) 사이에 있어 크기 감각도 맞습니다. 따라서 (D) 가 확인됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리 — 마름모 안에 숨은 5-12-13 직각삼각형 — 만 알면 풀 수 있어요!

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