경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2019 · #4

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

perimeterpythagorean-theoremarea-triangles identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremperimeterarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

마름모 ABCD의 둘레가 52 미터이고, 한 대각선 AC의 길이가 24 미터입니다. 이 마름모의 넓이는 몇 제곱미터일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

105

(D)

120

(E)

144

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

2차원 도형 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)부터 출발하는 것이 자연스럽습니다 — 마름모를 그리고 두 대각선을 그어 교점을 표시합니다. 두 대각선이 그어지면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 길이 또렷해집니다. 마름모는 네 개의 합동인 직각삼각형으로 나뉘므로, 문제는 (1) 둘레로 한 변 구하기, (2) 직각삼각형으로 모르는 반쪽 대각선 구하기, (3) 두 대각선을 넓이 공식에 넣기 — 이렇게 세 개의 작은 단계로 자연스레 분해됩니다.

1STEP 1

한 변의 길이 구하기

마름모는 네 변이 같으므로 둘레를 4로 나누면 한 변은 13 미터입니다.

한 변 = 52/4 = 13 미터

2STEP 2

주어진 대각선 반으로 나누기

두 대각선은 마름모를 네 직각삼각형으로 나누고 교점 M에서 만나며, AC의 절반인 AM은 12 미터입니다.

AM = AC/2 = 24/2 = 12 미터

3STEP 3

피타고라스 정리 쓰기

직각삼각형 AMB에서 빗변 AB=13, 한 다리 AM=12이므로 피타고라스 정리로 BM = 5 미터입니다.

AM² + BM² = AB² → 12² + BM² = 13² → BM² = 169 - 144 = 25 → BM = 5

마름모를 쪼개면 두 변을 아는 직각삼각형이 나오므로 — 정확히 8학년 피타고라스 정리가 들어맞는 상황입니다.

모르는 반대각선 BM의 길이는 5미터이다.

▸ 왜?

직각삼각형 △ AMB에서 두 변 AM과 BM, 빗변 AB는 AM² + BM² = AB²을 만족하므로, AM=12, AB=13을 넣으면 BM² = 13² - 12² = 25가 되어 BM=5이다.

▸ 왜?

M에서 삼각형의 모서리가 직각인 것은, 마름모의 두 대각선이 서로 수직으로 만나기 때문이다.

▸ 왜?

마름모를 대각선 AC를 따라 접으면 변 AB가 변 AD 위에 정확히 포개지므로, AC는 접힌 선으로서 다른 대각선 BD와 M에서 직각으로 만난다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

변 AM은 주어진 대각선 AC=24의 절반인 12인데, 이는 M이 AC의 중점이기 때문이다.

▸ 왜?

마름모를 대각선 BD를 따라 접으면 A가 C 위에 정확히 포개지므로, 접힌 선이 AC를 M에서 똑같은 두 반쪽으로 나눈다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

빗변 AB는 마름모의 한 변인 13인데, 이는 둘레 52가 같은 길이의 네 변을 합친 것이기 때문이다.

▸ 왜?

둘레는 한 변의 같은 묶음 4개이므로, 52를 그 4개의 같은 묶음으로 나누면 각 변은 13이 된다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

모든 직각삼각형에서 빗변 위의 정사각형은 두 변 위의 정사각형의 합과 같다.

피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).

8.G.B.7Identify Subproblems

4STEP 4

두 배로 다른 대각선 구하기

대각선은 서로 이등분하므로 BM을 두 배 하면 두 번째 대각선 BD = 10 미터입니다.

BD = 2 × BM = 2 × 5 = 10 미터

5STEP 5

마름모 넓이 공식 쓰기

마름모 넓이는 두 대각선의 곱의 절반: $\frac{1}{2}$ × 24 × 10 = 120 제곱미터입니다.

넓이 = 1/2 × d₁ × d₂ = 1/2 × 24 × 10 = 120 제곱미터 → (D)

정답

120

직관 확인: 마름모는 두 대각선이 만드는 24 × 10 직사각형 안에 꼭 들어가는데, 그 직사각형의 넓이는 240입니다. 마름모는 그 직사각형의 정확히 절반(네 직각삼각형이 직사각형의 절반을 채움)이므로 120 제곱미터가 나옵니다. 또 60 (납작한 마름모)과 144 (한 변이 12 인 정사각형 가정) 사이에 있어 크기 감각도 맞습니다. 따라서 (D)가 확인됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리 — 마름모 안에 숨은 5-12-13 직각삼각형 — 만 알면 풀 수 있어요!

한 변의 길이 구하기
주어진 대각선 반으로 나누기
피타고라스 정리 쓰기
두 배로 다른 대각선 구하기
마름모 넓이 공식 쓰기

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한 변의 길이 구하기

주어진 대각선 반으로 나누기

피타고라스 정리 쓰기

두 배로 다른 대각선 구하기

마름모 넓이 공식 쓰기

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