AMC 8 · 2020 · #12

학년 4 algebranumber-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

factorialprime-factorization identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

팩토리얼 n! 은 n 부터 1 까지의 모든 양의 정수의 곱을 뜻합니다 (예: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24). 식 5! · 9! = 12 · N! 의 양변이 같아지도록 만드는 양의 정수 N 을 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 식 5! · 9! = 12 · N! 을 세 단계로 나눕니다 — (가) 보이는 "작은" 팩토리얼인 5! 의 값만 계산하고, (나) 양변을 거추장스러운 계수 12 로 나눠서 정리한 뒤, (다) 남은 식을 팩토리얼 하나로 다시 읽습니다. 각 단계가 3~4학년 산수에서 다 끝나기 때문에, 9! 같이 큰 팩토리얼은 한 번도 직접 전개할 필요가 없습니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 AMC 객관식 문제의 단골 보조 전략으로, 10 · 9! = N! 까지 정리된 뒤 다섯 선택지 10, 11, 12, 13, 14 를 재귀식 n! = n · (n-1)! 에 차례로 대입해 답을 확정합니다.

1STEP 1

작은 팩토리얼은 5! 뿐이니 그것만 전개하고 9! 은 그대로 두면, 값은 120 입니다.

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

2STEP 2

5! = 120 을 원래 식에 대입하면 120 · 9! = 12 · N! 이 됩니다.

120 · 9! = 12 · N!

3STEP 3

양변을 12 로 나누면 (120 ÷ 12 = 10) 10 · 9! = N! 이 됩니다.

(120 · 9!)/12 = (12 · N!)/12 ⟹ 10 · 9! = N!

4STEP 4

규칙 n! = n · (n-1)! 로 좌변을 묶으면 10 · 9! = 10!, 즉 10! = N! 입니다.

10 · 9! = 10 · (9 · 8 … 1) = 10! ⟹ 10! = N!

5STEP 5

양의 정수의 팩토리얼이 같으면 정수도 같으니 N = 10, 곧 선택지 (A) 입니다.

10! = N! ⟹ N = 10 ⟹ (A)

정답

좌변 5! · 9! = 120 · 9! 에는 이미 9! 이 인수로 들어 있고, 120 = 12 · 10 이므로 12 를 약분하고 나면 10 이라는 단 한 인수만 더해집니다. 결국 좌변은 정확히 10 · 9! = 10! — 9! 에서 딱 한 칸만 올라간 팩토리얼입니다. 그래서 답 N = 10 (9 보다 바로 다음 정수) 이 가장 자연스럽습니다. 만약 N = 14 라면 좌변에 14 · 13 · 12 · 11 = 24024 라는 추가 인수가 더 있어야 하지만, 식 어디에도 그런 큰 인수가 없습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 곱셈 패턴 — 10 × 9! = 10! 같은 — 만 알면 풀 수 있어요!

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