경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2020 · #18

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
pythagorean-theoremarea-rectanglesarea-circles identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-rectangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
반원 안에 직사각형 ABCD 가 들어가 있고, 변 DA 는 반원의 지름 FE 위에 놓여 있습니다. 점 D 와 A 는 F 와 E 사이에 있고, 위쪽 두 꼭짓점 B, C 는 반원의 곡선 위에 닿아 있습니다. DA = 16 이고 FD = AE = 9 일 때, 직사각형 ABCD 의 넓이를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
240
(B)
248
(C)
256
(D)
264
(E)
272

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

그림은 이미 있지만, 한 가지를 더 추가 하기 전까지는 핵심이 보이지 않습니다 (도구 #1). 반원의 중심 O 를 표시하고 반지름 OC를 그어 보세요. 이 한 줄만 더해도 문제는 곧바로 직각삼각형 △ ODC 의 문제로 바뀝니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이 구하는 과정을 세 조각으로 나눕니다 — (1) 지름에서 반지름 구하기, (2) 직각삼각형으로 높이 CD 구하기, (3) 가로 × 세로로 넓이 구하기. 한 번에 한 가지 아이디어만 쓰면 됩니다.

1STEP 1

반원의 중심 표시하기

중심 O 를 표시하면 지름 FE = 9 + 16 + 9 = 34, 반지름 r = 17 이고, 대칭성으로 O 는 DA 의 중점입니다.

FE = 9 + 16 + 9 = 34, r = 34/2 = 17
2STEP 2

중심에서 D까지 거리 구하기

O 가 DA 의 중점이므로 OD = 16 ÷ 2 = 8, 이것이 사용할 직각삼각형의 짧은 변입니다.

OD = DA/2 = 16/2 = 8
3STEP 3

C까지 반지름 그리기

반지름 OC = 17 을 긋습니다. ∠ODC 가 직각이므로 △ODC 는 빗변이 OC 인 직각삼각형입니다.

OC = 17, ∠ ODC = 90^°
4STEP 4

피타고라스 정리 쓰기

△ODC 에 피타고라스 정리: 8² + CD² = 17² 이므로 CD² = 225, CD = 15 입니다.

8² + CD² = 17² → CD² = 289 - 64 = 225 → CD = 15
5STEP 5

가로와 세로 곱하기

가로 × 세로: 16 × 15 = 240, 선택지 (A)와 일치합니다.

넓이 = DA × CD = 16 × 15 = 240 → (A)
정답
240
반지름이 17이고 직사각형의 절반 가로 OD = 8 이므로 높이는 반드시 17 보다 작아야 합니다 (반원 밖으로 튀어나갈 수 없으니까). 구한 CD = 15는 이 조건을 만족하고, 마침 잘 알려진 피타고라스 세 수 (8, 15, 17) 위에 떨어집니다. 넓이 16 × 15 = 240은 선택지 중 가장 작은 값인데, 이 직사각형이 가로는 길지만 세로가 그리 높지 않다는 그림의 인상과도 잘 맞습니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리 a² + b² = c²만 알면 풀 수 있어요!

  • 반원의 중심 표시하기
  • 중심에서 D까지 거리 구하기
  • C까지 반지름 그리기
  • 피타고라스 정리 쓰기
  • 가로와 세로 곱하기

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