경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2025 · #12

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
area-circlescoordinate-geometrypythagorean-theoremline-symmetry coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlescoordinate-geometrypythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
가로·세로로 모두 대칭인 "+" 모양 도형이 한 변 1 cm 의 단위 정사각형 24 개로 이루어져 있습니다. 이 도형 안에 완전히 들어갈 수 있는(경계에 닿아도 됨) 가장 큰 원의 넓이는 몇 제곱 센티미터일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$3\pi$
(B)
$4\pi$
(C)
$5\pi$
(D)
$6\pi$
(E)
$8\pi$

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도형이 기하학적이고 좌우·상하 대칭이라, 도구 #1(그림 그리기)로 + 모양 위에 좌표 격자를 얹기만 해도 대칭의 중심과 안쪽으로 들어온 꼭짓점들이 한눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 세 조각 — (a) 원의 중심은 어디? (b) 반지름은? (c) 넓이는? — 으로 나눠 각각을 쉽게 만듭니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)을 안전망으로 써서 r² = 5만 만족하는 선택지를 골라 답을 못 박습니다.

1STEP 1

대칭으로 중심 찾기

대칭이므로 가장 큰 원의 중심은 도형의 대칭 중심 C = (3, 4) 입니다.

C = (3, 4)
2STEP 2

가장 가까운 꼭짓점 찾기

C 에 가장 가까운 오목한 안쪽 꼭짓점 (5, 5) 등이 바깥 변보다 원을 더 조여 반지름을 정합니다.

C 근처의 안쪽 꼭짓점: (5,5), (4,6), (2,6), (1,5), …
3STEP 3

반지름 구하기

가장 가까운 꼭짓점은 C 에서 가로 2, 세로 1 칸, 피타고라스로 r² = 2²+1² = 5, r = √(5) cm.

r = √((5-3)² + (5-4)²) = √(4 + 1) = √(5)
4STEP 4

반지름이 최대인지 확인하기

바깥 변까지는 3 인데 √(5) ≈ 2.24 ＜ 3이라 원을 막지 못하고, 원은 안쪽 꼭짓점 8 개에 동시에 접합니다.

√(5) ≈ 2.236 ＜ 3 (바깥 변까지의 거리)
5STEP 5

원 넓이 공식 쓰기

넓이 공식 A = π r²에 넣으면 (√(5))² = 5 이므로 넓이는 5π 제곱센티미터, 선택지 (C)입니다.

A = π r² = π (√(5))² = 5π → (C)
정답
5π
도형 전체 넓이는 단위 정사각형 24 개분, 즉 24 제곱센티미터입니다. 우리가 구한 원의 넓이 5π ≈ 15.7은 24 보다 충분히 작으면서도, 가운데 2 × 2 블록에만 내접하는 원의 넓이 π ≈ 3.14 보다는 훨씬 크니 크기 감각이 맞습니다. 반지름 √(5) ≈ 2.24도 합리적입니다 — 중심 주변으로 가로·세로 3 칸씩 뚫려 있으니 반지름 2.24 짜리 원이 안쪽 오목 꼭짓점에 살짝 닿으며 들어가는 그림이 정확히 그려집니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 "피타고라스 정리로 두 점 사이 거리 구하기" 와 7학년 원의 넓이 공식 A = π r²만 알면 풀 수 있어요!

  • 대칭으로 중심 찾기
  • 가장 가까운 꼭짓점 찾기
  • 반지름 구하기
  • 반지름이 최대인지 확인하기
  • 원 넓이 공식 쓰기

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