AMC 8 · 2020 · #19

학년 4 number-theorycounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesdigit-sumdigit-constraintsmodular-arithmetic digit-constraintscaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesdigit-sum

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

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문제

"플리피(flippy)" 수는 자릿수가 서로 다른 두 숫자 사이를 번갈아 가며 나타나는 수입니다 — 예를 들어 2020, 37373 은 플리피 수이지만, 3883 (가운데 8 이 두 번 연속) 이나 123123 (서로 다른 숫자가 세 개) 은 아닙니다. 다섯 자리 플리피 수 중 15 의 배수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

"15 의 배수" 라는 조건은 성격이 다른 두 작은 조건 — 5 의 배수(끝자리 규칙) 와 3 의 배수(자릿수 합 규칙) — 로 깔끔하게 쪼개집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 을 쓰면 한 자리씩 차근차근 결정할 수 있습니다 — 5 규칙으로 a 값이 정해지고, 이어서 3 규칙으로 b 의 후보가 좁혀집니다. 두 자리가 모두 제한된 뒤에는 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 남은 후보 수들을 차례로 적고 세면 끝입니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 은 일부러 피했습니다 — 배수 판정법과 나열만으로 식 없이 풀립니다.

1STEP 1

다섯 자리 플리피 수는 ababa 꼴이어야 합니다 — 1, 3, 5번째는 a, 2, 4번째는 b, 그리고 a ≠ 0, a ≠ b.

a b a b a, 단 a ≠ b 이고 a ≠ 0

2STEP 2

5의 배수는 끝자리가 0 또는 5여야 하는데, 끝자리 a가 0이 아니므로 a = 5, 수는 5b5b5 꼴 (b ≠ 5).

끝자리 = a ∈ {0, 5} 이고 a ≠ 0 이므로 a = 5

3STEP 3

5b5b5의 자릿수 합은 15 + 2b인데, 15가 이미 3의 배수이므로 2b만 3의 배수이면 됩니다.

5 + b + 5 + b + 5 = 15 + 2b, 그러므로 3 ∣ (15 + 2b) 이려면 3 ∣ 2b

4STEP 4

2b가 3의 배수가 되려면 b가 3의 배수여야 하므로 b ∈ {0, 3, 6, 9}, 모두 b ≠ 5를 만족합니다.

b ∈ {0, 3, 6, 9}, 각 값 모두 b ≠ 5 를 만족

5STEP 5

차례로 적으면 50505, 53535, 56565, 59595 — 15의 배수인 플리피 수는 4개, 곧 선택지 (B).

b=0 → 50505; b=3 → 53535; b=6 → 56565; b=9 → 59595. 총 4 개이므로 답은 (B).

정답

빠르게 검산해 봅시다: 50505 ÷ 15 = 3367, 53535 ÷ 15 = 3569, 56565 ÷ 15 = 3771, 59595 ÷ 15 = 3973 — 모두 자연수이므로 네 수 모두 진짜 15 의 배수입니다. 빠진 다섯 번째 후보도 없습니다 — 나머지 b ∈ {1, 2, 4, 7, 8} 은 자릿수 합 규칙에서 탈락하고, b = 5 는 수를 55555 로 만들어 a ≠ b 조건을 깹니다. 답 4 는 선택지 범위 3 ∼ 8 안에 자연스럽게 들어옵니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 배수 판정법 — 5 의 배수는 "끝자리가 0 또는 5", 3 의 배수는 "자릿수의 합이 3 의 배수" — 만 알면 풀 수 있어요!

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