AMC 8 · 2020 · #23

학년 7 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

combinations-basicpermutations-basiccomplementary-countingset-partition complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: combinations-basicpermutations-basic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

서로 다른 상 5 개와 서로 다른 학생 3 명이 있습니다. 상 한 개는 반드시 학생 한 명에게만 주고, 학생 누구도 빈손이 되지 않도록(즉 모든 학생이 적어도 한 개 이상 받도록) 나눠 줄 때, 서로 다른 분배 방법은 모두 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

120

(B)

150

(C)

180

(D)

210

(E)

240

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 (여집합 세기)

"적어도 한 개씩" 이라는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기 — 여집합 세기) 의 대표적인 신호입니다. 좋은 경우를 곧바로 세는 대신, 제한 없이 전부 세어 본 다음 나쁜 경우(상을 한 개도 못 받는 학생이 생기는 경우) 를 빼면 깔끔합니다. 그런데 나쁜 경우 자체도 쪼개야 하므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 을 함께 씁니다 — 먼저 "어떤 한 학생이 빈손" 인 경우를 빼고, 그 안에서 두 번 빠진 "두 학생이 동시에 빈손" 인 경우를 다시 더해 줍니다(포함-배제). 검증용으로는 도구 #3(가능성 지우기) 을 사용해서 분배 형태를 (3,1,1) 또는 (2,2,1) 두 경우로 나눠 세고, 두 합계가 같은 답으로 모이는지 확인해 다른 선택지를 지웁니다.

1STEP 1

제한을 무시하면 상 5 개가 각각 학생 3 명에게 갈 수 있어 전체는 3⁵ = 243 가지입니다.

3⁵ = 243 가지 (제한 없는 전체)

2STEP 2

빈손 학생 고르기 C(3,1)=3, 남은 둘에게 5 개 나누기 2⁵=32, 곱하면 96 가지를 뺍니다.

C(3, 1) · 2⁵ = 3 · 32 = 96

3STEP 3

두 명 빈손 경우는 두 번 빠졌으니 다시 더합니다: C(3,2)·1⁵ = 3 가지.

C(3, 2) · 1⁵ = 3 · 1 = 3

4STEP 4

포함-배제로 합칩니다: 243 − 96 + 3 = 150. 세 명 모두 빈손은 불가능해 뺄 항이 없습니다.

3⁵ - C(3, 1) · 2⁵ + C(3, 2) · 1⁵ = 243 - 96 + 3 = 150 → (B)

정답

150

제한이 전혀 없다면 답은 3⁵ = 243 입니다. "모두에게 적어도 한 개" 라는 조건이 한쪽으로 쏠린 분배(예: 한 학생이 모든 상을 가져가는 경우 등) 를 잘라 내므로, 답은 반드시 243 보다 작아야 합니다. 선택지 중 (A) 120, (B) 150, (C) 180, (D) 210 이 모두 243 보다 작지만, (E) 240 은 "걸러진 나쁜 경우가 거의 없다" 는 뜻이라 비합리적입니다(한 학생이 다 가져가는 경우만 해도 꽤 많기 때문). 포함-배제로 정확히 150 이 나오므로 답 (B) 와 잘 맞아떨어집니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "전체에서 나쁜 경우를 빼는 복합사건 세기" 만 알면 풀 수 있어요!

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