경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2020 · #23
학년 7 counting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"적어도 한 개씩" 이라는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기 — 여집합 세기)의 대표적인 신호입니다. 좋은 경우를 곧바로 세는 대신, 제한 없이 전부 세어 본 다음 나쁜 경우(상을 한 개도 못 받는 학생이 생기는 경우)를 빼면 깔끔합니다. 그런데 나쁜 경우 자체도 쪼개야 하므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 함께 씁니다 — 먼저 "어떤 한 학생이 빈손" 인 경우를 빼고, 그 안에서 두 번 빠진 "두 학생이 동시에 빈손" 인 경우를 다시 더해 줍니다(포함-배제). 검증용으로는 도구 #3(가능성 지우기)을 사용해서 분배 형태를 (3,1,1) 또는 (2,2,1) 두 경우로 나눠 세고, 두 합계가 같은 답으로 모이는지 확인해 다른 선택지를 지웁니다.
전체 나누는 방법 세기
제한을 무시하면 상 5 개가 각각 학생 3 명에게 갈 수 있어 전체는 3⁵ = 243 가지입니다.
3 · 3 · 3 · 3 · 3을 3⁵로 쓰는 것은 6학년 자연수 거듭제곱 표현 그대로입니다.
6.EE.A.1Change Focus Count The Complement빈 학생 있는 경우 빼기
빈손 학생 고르기 C(3,1)=3, 남은 둘에게 5 개 나누기 2⁵=32, 곱하면 96 가지를 뺍니다.
"빈손이 될 학생부터 정하고, 그 다음 남은 사람에게 나눠 주기" 처럼 단계로 쪼개 세는 것이 7학년 복합사건 정리표 사고방식입니다.
7.SP.C.8Identify Subproblems두 번 뺀 경우 되돌리기
두 명 빈손 경우는 두 번 빠졌으니 다시 더합니다: C(3,2)·1⁵ = 3 가지.
중복으로 빠진 경우를 알아채고 다시 더해 주는 것은 7학년 복합사건에서 "겹친 부분 처리" 의 핵심 사고입니다.
7.SP.C.8Identify Subproblems포함배제로 합치기
포함-배제로 합칩니다: 243 − 96 + 3 = 150. 세 명 모두 빈손은 불가능해 뺄 항이 없습니다.
경우의 수를 더하고 빼는 순서를 잘 맞춰 이중 계산을 피하는 것이 7학년 복합사건 세기의 표준 방법입니다.
모든 학생이 적어도 하나씩 받도록 상을 나눠 주는 방법의 수는 3⁵ - C(3, 1) · 2⁵ + C(3, 2) · 1⁵이다.
▸ 왜?
모두가 상을 받는 분배는, 전체 분배에서 나쁜 것들 — 어떤 학생을 빈손으로 남기는 것들 — 을 덜어낸 것과 정확히 같다.
▸ 왜?
모든 분배는 세 학생 모두에게 상을 주거나, 아니면 적어도 한 학생을 빈손으로 남기며, 둘 다인 경우는 없다. 그래서 좋은 것의 개수는 전체 모음에서 나쁜 모음을 뺀 것이다.
▸ 왜?
그 전체 모음은 3⁵이다. 5개의 상 각각이 따로따로 3명 중 한 명에게 건네지고, 그 독립적인 선택들이 곱해져 3×3×3×3×3=3⁵이 된다.
▸ 왜?
두 학생을 빈손으로 남기는 분배는 그 두 학생 각각에 대해 한 번씩 덜어져 두 번 빠졌으므로, 두-빈손 개수를 한 번 다시 더해 주면 그 뺌 하나가 상쇄되어 나쁜 분배마다 정확히 한 번씩만 빠지게 된다.
▸ 왜?
나쁜 경우를 빼는 것은 나쁜 분배 하나하나가 한 번의 뺌에 짝지어질 때에만 옳으므로, 두 번 빠진 경우는 다시 한 번 빠진 것으로 짝을 맞춰 내려야 한다.
이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "전체에서 나쁜 경우를 빼는 복합사건 세기" 만 알면 풀 수 있어요!
- 전체 나누는 방법 세기
- 빈 학생 있는 경우 빼기
- 두 번 뺀 경우 되돌리기
- 포함배제로 합치기
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