AMC 8 · 2020 · #25

학년 8 geometry-2dalgebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

area-rectanglessystems-of-equationslinear-equations-two-varspatial-visualization convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: systems-of-equationsspatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

가로 3322, 세로 2020 인 큰 직사각형이 세 개의 정사각형 S₁, S₂, S₃ (한 변의 길이 s₁, s₂, s₃) 과 두 개의 직사각형 R₁, R₂ 로 빈틈 없이 채워져 있습니다. 그림에서 S₁ 은 왼쪽 위, 그 아래에 R₁ 이 있고, S₂ 는 가운데, S₃ 은 오른쪽 아래, 그 위에 R₂ 가 놓여 있습니다. 가운데 정사각형 S₂ 의 한 변 s₂ 를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

651

(B)

655

(C)

656

(D)

662

(E)

666

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림이 주어져 있지만, 도구 #1(그림 그리기) 의 정신대로 "내 손으로 다시 그리며" 모든 변에 s₁, s₂, s₃ 라벨을 붙이는 게 핵심입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로는 그림을 가로 방향(전체 가로 = 정사각형 세 개의 변의 합) 과 세로 방향(왼쪽·오른쪽 기둥의 높이) 의 두 독립 식으로 분리합니다. 이렇게 만든 두 식을 도구 #13(대수로 바꾸기) 로 다루면, 두 식을 빼는 한 번의 동작만으로 s₁ 과 s₃ 가 동시에 사라지고 s₂ 만 남으므로 — 세 변을 모두 구할 필요가 없습니다.

1STEP 1

그림을 다시 그려 라벨을 답니다 — 세 정사각형의 폭이 좌에서 우로 윗변 전체를 나란히 덮습니다.

윗변 = s₁ + s₂ + s₃

2STEP 2

라벨 붙인 윗변은 주어진 가로 3322 와 같으니, 이것이 첫 번째 식입니다.

s₁ + s₂ + s₃ = 3322 (식 1)

3STEP 3

양옆 기둥은 각각 높이 2020 이므로, 가운데 빈 구간을 읽으면 s₁ - s₂ + s₃ = 2020 — 두 번째 식.

s₂ = (2020 - s₁) - s₃ ⇔ s₁ - s₂ + s₃ = 2020 (식 2)

4STEP 4

식 1 에서 식 2 를 빼면 s₁ 과 s₃ 는 소거되고 s₂ 는 두 배 — 2 s₂ = 1302.

(s₁ + s₂ + s₃) - (s₁ - s₂ + s₃) = 3322 - 2020 → 2 s₂ = 1302

5STEP 5

2 로 나누면 s₂ = 651, 답지 (A).

s₂ =

\frac{1302}{2}

= 651 → (A)

정답

651

정답은 0 과 min(3322, 2020) = 2020 사이에 있어야 하는데 651 은 그 안에 잘 들어옵니다. 검산: s₁ + s₂ + s₃ = 3322 와 s₁ + s₃ - s₂ = 2020 을 더하면 2(s₁ + s₃) = 5342, 즉 s₁ + s₃ = 2671. 따라서 s₂ = 3322 - 2671 = 651 — 일치합니다. 또 그림상 s₁, s₃ ＞ s₂ (가운데 정사각형이 가장 작음) 인데, s₁ + s₃ = 2671 을 각각 651 보다 큰 두 값으로 나누는 분할(예: s₁ ≈ 1369, s₃ ≈ 1302) 은 충분히 가능합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 마지막 문제는 사실 8학년 때 배운 "두 일차방정식 빼서 변수 소거하기" 만 알면 풀 수 있어요 — 직사각형의 가로·세로를 식 두 개로 적고 빼기만 하면 s₂ 가 툭 떨어집니다!

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