AMC 8 · 2020 · #4

학년 4 pattern

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

pattern-recognitionsequences-arithmeticspatial-visualization pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

점으로 그려진 정육각형이 크기 순서대로 세 개 주어져 있습니다. 첫 번째 육각형에는 점이 1 개, 두 번째에는 7 개, 세 번째에는 19 개 있고, 갈수록 바깥쪽으로 점이 한 겹씩 더해집니다. 같은 방식으로 점을 한 겹 더 두른 네 번째 육각형의 점은 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

n = 1, 2, 3 번째 육각형이 이미 그림으로 주어져 있고, 묻는 것은 n = 4 일 때. "다음 항은 무엇인가?" 형식이라 도구 #5(패턴 찾기) 가 풀이의 중심축입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 사실 절반은 끝나 있는 셈입니다 — 작은 사례들이 이미 눈앞에 있으니 잘 "읽어내기" 만 하면 됩니다. 거기에 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 줄별 점 개수를 위에서 아래까지 한 줄도 빠뜨리지 않고 나열한 뒤 더하면 끝납니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기) 로 객관식 선택지와 대조해 답을 확정합니다. 총합 1, 7, 19, … 자체로 차분(도구 #14) 을 잡거나 다항식(도구 #13) 으로 가는 길도 있지만, 줄 단위 구조가 그림에서 바로 보이는 만큼 4학년 "규칙 찾기" 수준에서 충분히 해결됩니다.

1STEP 1

세 육각형을 줄별로 읽으면 1; 2, 3, 2; 3, 4, 5, 4, 3 — 위아래 대칭에 가운데 줄이 가장 깁니다.

1; 2,3,2; 3,4,5,4,3

2STEP 2

규칙: n 번째 육각형은 2n-1 줄, 점 개수는 n, n+1, …, 2n-1, …, n+1, n. n=2·3 으로 확인돼요.

n=2: 2,3,2 ✓ n=3: 3,4,5,4,3 ✓

3STEP 3

n=4 를 넣으면 4 번째 육각형은 2×4-1 = 7 줄, 점 개수는 4, 5, 6, 7, 6, 5, 4 — 순서대로 빠짐없이.

4, 5, 6, 7, 6, 5, 4

4STEP 4

대칭 줄끼리 짝지어 더하면 (4+4)+(5+5)+(6+6)+7 = 8+10+12+7 = 37.

4+5+6+7+6+5+4 = (4+4)+(5+5)+(6+6)+7 = 8+10+12+7 = 37

5STEP 5

총합 37 을 선택지에서 확인하면 (B) 와 일치합니다.

37 → (B)

정답

총합을 순서대로 적으면 1, 7, 19, 37 이고 이웃한 항의 차이는 6, 12, 18 — 6 씩 늘어나는 깔끔한 등차 패턴입니다. 이유도 자연스럽습니다: n 번째에서 (n+1) 번째 육각형으로 갈 때 바깥쪽에 새로운 "육각 띠" 한 겹이 둘러지는데, 한 변에 n 개씩 여섯 변이라 정확히 6n 개의 점이 더해집니다. 그래서 네 번째 육각형은 19 + 6 × 3 = 19 + 18 = 37 — 답 (B) 와 일치합니다. 다섯 번째라면 37 + 6 × 4 = 61 이 되어, 중심 육각수 공식 3n² - 3n + 1 에 n = 5 를 넣은 값과 같다는 확인까지 됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙 찾기" 와 약간의 3학년 덧셈만 알면 풀 수 있어요!

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