AMC 8 · 2020 · #7

학년 4 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-constraintscombinations-basicsystematic-enumeration digit-constraintscaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

2020 보다 크고 2400 보다 작은 네 자리 정수 중에서, 네 자릿수가 모두 서로 다르고 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 점점 커지는(엄격히 증가하는) 수가 몇 개인지 세는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{9}$

(B)

$text{10}$

(C)

$text{15}$

(D)

$text{21}$

(E)

$text{28}$

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"몇 개인가?" 라고 묻는 문제이니 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 가 기본입니다. 다만 네 자리 수를 무작정 나열하기 전에, 도구 #3(가능성 지우기) 로 앞 두 자릿수부터 좁힙니다 — 2020 ＜ N ＜ 2400 범위와 "증가하는 자릿수" 조건이 합쳐지면 a 와 b 값이 사실상 하나로 정해지고, 자유롭게 고를 자릿수는 뒤의 두 개뿐입니다. a, b 가 고정되면 b 보다 큰 숫자들 중에서 증가하는 쌍 (c, d) 만 차분히 나열하면 됩니다.

1STEP 1

N 이 2020 과 2400 사이에 있으니 천의 자리는 a = 2 — 1 이면 너무 작고 3 이상이면 너무 큽니다.

2020 ＜ N ＜ 2400 ⟹ a = 2

2STEP 2

a = 2 이고 자릿수가 커지니 b ＞ 2; b = 4 면 최소 2456 ＞ 2400 이라 b = 3 만 가능합니다.

a = 2, a ＜ b, N ＜ 2400 ⟹ b = 3

3STEP 3

이제 N 은 모두 23cd 꼴이니 {4, 5, 6, 7, 8, 9} 에서 c ＜ d 인 쌍만 세면 됩니다.

N = 23cd, c, d ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9}, c ＜ d

4STEP 4

작은 c 기준으로 세면 c = 4~9 에서 각각 5, 4, 3, 2, 1, 0 개 — 더하면 15 개입니다.

5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15

5STEP 5

쌍 (c, d) 하나가 정수 23cd 하나에 대응하므로 정수 개수는 쌍 개수와 같은 15 개입니다.

개수 = 15 ⟹ (C)

정답

text{15}

15 개 중 몇 개를 직접 확인해 봅시다 — 2345 (자릿수 2,3,4,5, 엄격히 증가, 범위 안), 2378 (2,3,7,8), 2389 (2,3,8,9) 모두 조건 통과. 만들 수 있는 가장 큰 수가 2389 ＜ 2400, 가장 작은 수가 2345 ＞ 2020 이라 전체가 정확히 요구 범위 안에 들어옵니다. 답 15 는 (C) 와 일치하고, 다른 선택지 (9, 10, 21, 28) 는 자연스러운 오답 시나리오에 해당하지 않습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 자릿값 비교와 "빠짐없이 나열해서 더하기" 만 알면 풀 수 있어요 — 조합 공식 같은 건 필요 없답니다!

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