AMC 8 · 2022 · #13

학년 4 algebranumber-theory

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문제

두 양의 정수가 있는데, 큰 수는 "작은 수의 두 배보다 어떤 양의 정수 k (빈칸 값)만큼 더 큽니다." 또 두 수의 합은 28 입니다. 이때 빈칸에 들어갈 수 있는 양의 정수 k 는 모두 몇 가지인지 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"가능한 k 가 몇 개인가?" 라는 질문은 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 에 딱 맞습니다. 작은 수 b 를 기준으로 순서를 정해 k 가 양의 정수가 되는 모든 b 를 빠뜨리지 않고 적기만 하면 됩니다. 그 전에 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 두 조건 (a = 2b + k 와 a + b = 28) 을 한 줄짜리 식 3b + k = 28 로 합쳐 두면 k = 28 - 3b 라는 깔끔한 뺄셈 규칙이 나옵니다. 이후 도구 #6 (추측하고 확인하기) 으로 b = 1, 2, 3, … 을 차례로 넣어 보다가 k 가 1 미만이 되는 순간 멈추면 끝 — 굳이 도구 #13 (대수로 바꾸기) 까지 가지 않아도 됩니다.

1STEP 1

"a 는 b 의 두 배보다 k 큼" 은 a = 2b + k; a + b = 28 에 대입하면 3b + k = 28.

a = 2b + k, a + b = 28 → 3b + k = 28

2STEP 2

k 에 대해 정리하면 k = 28 - 3b. 이제 어떤 양의 정수 b 에서 28 - 3b 가 양수인지 묻는 문제.

k = 28 - 3b

3STEP 3

k ≥ 1 이려면 28 - 3b ≥ 1, 즉 3b ≤ 27, b ≤ 9; b 는 1 부터 9 까지의 자연수.

28 - 3b ≥ 1 ⇔ 3b ≤ 27 ⇔ b ≤ 9

4STEP 4

b = 1 부터 9 까지 (b, k) 를 나열: k = 25, 22, 19, …, 1, a = 28 - b 도 항상 양수.

b & k = 28-3b & a = 28-b ; 1 & 25 & 27 ; 2 & 22 & 26 ; 3 & 19 & 25 ; 4 & 16 & 24 ; 5 & 13 & 23 ; 6 & 10 & 22 ; 7 & 7 & 21 ; 8 & 4 & 20 ; 9 & 1 & 19

5STEP 5

서로 다른 k 값 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1 을 세면 모두 9 개, 선택지 (D).

#{25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1} = 9 → (D)

정답

표의 양 끝 두 줄로 검산해 봅시다. b = 1 일 때 a = 27 이고 2b + k = 2 + 25 = 27 이므로 a + b = 28, "a 는 b 의 두 배보다 25 만큼 크다" 가 모두 맞습니다. b = 9 일 때 a = 19 이고 2b + k = 18 + 1 = 19 이므로 역시 a + b = 28, "a 는 b 의 두 배보다 1 만큼 크다" 가 성립합니다. b = 10 을 시도하면 k = 28 - 30 = -2 로 양의 정수 조건을 어기므로 목록은 정말 b = 9 에서 끝납니다. 따라서 9 개라는 결론은 일관되고, 답은 (D) 입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "두 배" 비교와 차근차근 빠짐없이 적기만 알면 풀 수 있어요!

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