AMC 8 · 2022 · #16

학년 4 arithmeticalgebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

mean-median-mode-rangesystems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangelinear-equations-two-var

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문제

네 수가 한 줄로 놓여 있고, 차례대로 a, b, c, d 라고 합시다. 주어진 정보는 이웃한 두 수씩 묶은 평균 세 개입니다 — 앞쪽 두 수의 평균

\frac{a+b}{2}

= 21, 가운데 두 수의 평균

\frac{b+c}{2}

= 26, 뒤쪽 두 수의 평균

\frac{c+d}{2}

= 30. 구해야 할 것은 첫 번째 수와 마지막 수의 평균

\frac{a+d}{2}

입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 (여집합 사고)

a, b, c, d 각각을 구하려 들면 미지수 4 개에 식은 3 개라 답이 하나로 정해지지 않습니다. 그러나 문제가 묻는 것은 개별 값이 아니라 a+d 하나뿐 — 여기서 도구 #16(관점 바꾸기)이 결정적입니다. 네 수의 전체 합 a+b+c+d 안에서 보면, 우리가 원하는 a+d 는 가운데 쌍 b+c 의 "여집합" 입니다. 전체와 가운데를 알면 바깥쪽은 자동으로 정해집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 세 단계로 일을 나눠 줍니다 — (1) 평균 × 2 로 각 쌍의 합을 구하고, (2) 양 끝 쌍의 합을 더해 전체 합을 만들고, (3) 가운데 쌍의 합을 빼서 a+d 를 얻고 마지막에 2 로 나누면 끝. 대수(x, y 연립방정식)는 전혀 필요하지 않습니다.

1STEP 1

각 평균은 쌍의 합을 반으로 나눈 값이니, 2를 곱하면 그 쌍의 합이 됩니다.

a+b = 21 × 2 = 42, b+c = 26 × 2 = 52, c+d = 30 × 2 = 60

2STEP 2

양 끝 쌍의 합을 더하면 네 수가 한 번씩 들어가 전체 합 a+b+c+d = 102 가 됩니다.

(a+b) + (c+d) = 42 + 60 = 102, 따라서 a+b+c+d = 102

3STEP 3

양 끝 a+d 는 가운데의 여집합 — 전체에서 b+c = 52 를 빼면 a+d = 50 입니다.

a+d = (a+b+c+d) - (b+c) = 102 - 52 = 50

4STEP 4

쌍의 합 a+d 를 2로 나누면 다시 첫 번째와 마지막 수의 평균이 됩니다.

\frac{a+d}{2}

\frac{50}{2}

= 25 → (B)

정답

주어진 평균 세 개는 21, 26, 30 으로, 두 수씩 묶는 창문을 왼쪽에서 오른쪽으로 옮길수록 커집니다. 즉 네 수 자체가 전체적으로 증가하는 흐름이라, 가장 왼쪽 a 와 가장 오른쪽 d 의 평균은 21 과 30 사이 어딘가에 자리잡을 것이라 예상할 수 있습니다. 답 25 는 그 범위 안에서 약간 아래쪽 — 작은 쪽 a 가 평균을 끌어내리는 효과와 잘 맞습니다. 구체적으로 a = 16, b = 26, c = 26, d = 34 를 잡으면 세 평균 조건을 모두 만족하고

\frac{a+d}{2}

\frac{16+34}{2}

= 25 가 됩니다. ✓

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 여러 단계 사칙연산 — 양 끝 쌍의 합을 더하고 가운데 쌍의 합을 빼기 — 만 알면 풀 수 있어요!

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