AMC 8 · 2022 · #17
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AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
항이 1011 개나 되고 마지막 2022!! 는 어마어마하게 큰 수라 직접 계산은 불가능합니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 일단 앞쪽 이중 계승 몇 개만 손으로 구해 보고 일의 자리에서 무슨 일이 일어나는지 관찰합니다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기) 가 빛을 발합니다 — 10!! 부터 일의 자리가 0 이 되고, 그 뒤로 모든 n!! (n ≥ 10) 은 인수에 10 이 들어가므로 일의 자리가 모두 0 이라는 사실이 보입니다. 결국 영향력 있는 항은 처음 네 개 (2!!, 4!!, 6!!, 8!!) 뿐이고, 문제는 한 줄짜리 덧셈으로 줄어듭니다.
이중 계승을 앞에서부터 짝수를 하나씩 더 곱해 갑니다: 2, 8, 48, 384.
48 같은 두 자리 수에 8 같은 한 자리 수를 곱하는 것은 4학년 다자릿수 × 한 자릿수 곱셈 그대로입니다.
4.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem일의 자리만 뽑으면 2, 8, 8, 4, 이어서 10!! = 384 · 10 = 3840 은 0 으로 끝납니다.
10 을 곱하면 끝에 0 이 하나 붙는다는 사실은 3학년 "산술 패턴 찾기" 수준의 관찰입니다.
3.OA.D.9Look For A Patternn ≥ 10 인 짝수는 모두 10 을 인수로 가지므로 10!! 부터 2022!! 까지 전부 일의 자리가 0.
"인수에 10 이 있으면 일의 자리는 0" 이라는 3학년 곱셈 규칙 하나로 수천 개의 항이 한꺼번에 사라집니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern0 은 더해도 그대로라 결국 2!! + 4!! + 6!! + 8!! 만 중요합니다: 2 + 8 + 8 + 4 = 22, 그 일의 자리가 답.
한 자리 수 네 개를 더해 일의 자리만 읽는 것은 2학년 덧셈 유창성 수준 — 어려운 일은 패턴 쪽에서 이미 다 끝났습니다.
2.NBT.B.5Look For A Pattern이 AMC 8 문제는 사실 4학년 곱셈과 "10 을 곱하면 일의 자리는 0" 이라는 패턴 하나만 알면 풀 수 있어요!