AMC 8 · 2022 · #3

학년 4 number-theorycounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

prime-factorizationfactorssystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: factorsmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

양의 정수 세 개 a, b, c 가 a ＜ b ＜ c 를 만족하면서 곱이 100 이 되는 경우의 수를 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"몇 가지 방법" 을 묻는데 곱이 작은 수(100)로 정해져 있으니 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 가 딱 맞습니다. 다만 무작정 나열하면 빠뜨리거나 겹치기 쉬우니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "가장 작은 수 a 의 값" 별로 경우를 나눕니다. a ＜ b ＜ c 에서 a³ ＜ a · b · c = 100 이 나오므로 a 후보는 1, 2, 3, 4 뿐이고, 그 중에서도 100 의 약수만 살아남으니 경우는 a = 1, 2, 4 의 세 가지로 줄어듭니다. 각 경우 안에서 $\frac{100}{a}$ 의 약수쌍을 줄세워 적기만 하면 됩니다.

1STEP 1

a ＜ b, a ＜ c 를 곱하면 a³ ＜ 100 이므로 a 는 1, 2, 3, 4 중 하나입니다.

a³ ＜ 100 → a ∈ {1, 2, 3, 4}

2STEP 2

100 의 약수만 살아남고 3 은 약수가 아니므로 가장 작은 수 후보는 1, 2, 4 로 좁혀집니다.

a ∈ {1, 2, 3, 4} ∩ div(100) = {1, 2, 4}

3STEP 3

a = 1 이면 b · c = 100, 1 ＜ b ＜ c 인 커지는 약수쌍은 3 가지입니다.

a = 1: (1, 2, 50), (1, 4, 25), (1, 5, 20) — 3 가지

4STEP 4

a = 2 이면 b · c = 50, 2 ＜ b ＜ c 는 (5, 10) 만 통과해 1 가지: (2, 5, 10).

a = 2: (2, 5, 10) — 1 가지

5STEP 5

a = 4 이면 b · c = 25 인데 유일한 쌍 (5, 5) 는 b = c 라 탈락 — 0 가지.

a = 4: 없음

6STEP 6

경우를 합치면 3 + 1 + 0 = 4, 선택지 (E) 와 일치합니다.

3 + 1 + 0 = 4 → (E)

정답

네 묶음을 직접 곱해 확인: 1 · 2 · 50 = 100, 1 · 4 · 25 = 100, 1 · 5 · 20 = 100, 2 · 5 · 10 = 100 — 모두 100 이고 세 수가 엄격하게 커지는 순서를 지킵니다. 그리고 a³ ＜ 100 이라는 상한 덕분에 a ≥ 5 인 묶음을 놓쳤을 가능성도 없으므로 총 개수는 정확히 4 이고, 답 (E) 와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "약수쌍 찾기" 만 알면 풀 수 있어요 — 100 을 점점 커지는 세 조각으로 쪼개기만 하면 돼요!

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