AMC 8 · 2023 · #13

학년 4 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

equal-spacingfraction-arithmeticdivisibility-rules systematic-enumerationguess-and-check ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

출발선과 결승선이 한 직선 위에 놓인 자전거 경주로가 있습니다. 그 사이에 7개의 급수대가 일정한 간격으로, 또 2개의 수리소가 일정한 간격으로 놓여 있습니다. 3번째 급수대가 1번째 수리소보다 2마일 더 결승선 쪽에 있다고 할 때, 경주로의 전체 길이 d (마일)를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

보기는 다섯 개뿐이고, 각 후보 길이 d 에 대해 1번째 수리소 위치 (d ÷ 3) 와 3번째 급수대 위치 (3 × d ÷ 8) 를 어렵지 않게 계산할 수 있습니다. 따라서 보기를 하나씩 대입해 두 위치의 차이가 정확히 2마일이 되는 것을 찾으면 됩니다. 그 전에 간단한 그림으로 '8등분', '3등분' 의 의미를 명확히 하고, 객관식이라는 점을 활용해 나머지 보기를 지워 답을 확정합니다.

1STEP 1

S→F 직선에 급수대 7개를 찍어 8등분, 수리소 2개를 찍어 3등분하면 급수대 한 칸은 $\frac{d}{8}$ , 수리소 한 칸은 $\frac{d}{3}$ 예요.

급수대 한 칸 =

\frac{d}{8}

, 수리소 한 칸 =

\frac{d}{3}

2STEP 2

위치 = 한 칸 × 칸 수이므로 1번째 수리소는 출발선에서 $\frac{d}{3}$ , 3번째 급수대는 $\frac{3d}{8}$ 위치예요.

R₁ =

\frac{d}{3}

, W₃ =

\frac{3d}{8}

3STEP 3

보기를 대입해 R₁ = d÷3, W₃ = 3×(d÷8)을 구하고 W₃ - R₁ = 2인지 봐요. 8, 16, 24는 차이가 너무 작아요.

d=24:& R₁ = 8, W₃ = 9, W₃ - R₁ = 1 ; d=48:& R₁ = 16, W₃ = 18, W₃ - R₁ = 2 ✓ ; d=96:& R₁ = 32, W₃ = 36, W₃ - R₁ = 4

4STEP 4

d = 48일 때만 W₃ - R₁ = 2마일이 되어 조건과 일치하고, 나머지 네 보기는 지워져요.

d = 48 = (D)

정답

d = 48을 처음 상황에 다시 대입해 확인합니다. 급수대는 출발선으로부터 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 마일 (각각 48의

\frac{1}{8}

배)에 놓이고, 수리소는 16, 32 마일 (각각 48의

\frac{1}{3}

배)에 놓입니다. 3번째 급수대는 18, 1번째 수리소는 16이므로 급수대가 수리소보다 정확히 2마일 더 결승선 쪽에 있어 조건을 만족합니다. 또한 48마일은 실제 자전거 경주 길이로도 자연스러운 값입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 ‘나눗셈과 전체의 분수 부분’만 알면 풀 수 있어요!

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