AMC 8 · 2023 · #14

학년 4 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

optimization-countinglinear-diophantinedivisibility-rules optimization-countingsystematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticdivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

니콜라스는 5센트, 10센트, 25센트짜리 우표를 각각 20장씩 가지고 있습니다. 정확히 710센트의 요금을 우표로 만들되, 사용하는 우표 장수를 가능한 한 많이 하려고 합니다. 사용할 수 있는 최대 장수는 몇 장일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 / 여집합 세기

710센트를 만들면서 우표를 "많이" 쓰는 조합을 직접 찾으려고 하면, 작은 우표를 계속 더해야 해서 머릿속이 복잡해집니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 시선을 뒤집어 보면, 전체 컬렉션의 가치는 800센트인데 우편에 쓰지 않을(=빼놓을) 우표의 가치는 정확히 800-710=90센트여야 합니다. "사용하는 장수를 최대화한다"는 것은 "빼놓는 장수를 최소화한다"와 같습니다. 그래서 문제는 "90센트를 만드는 가장 적은 우표 장수는?"이라는 작고 깔끔한 질문으로 바뀝니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 큰 단위부터 채우는 단계로 나누고, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 마지막에 답을 한 번 더 점검합니다.

1STEP 1

컬렉션 전체를 더하면 각 20장씩 5·10·25센트로 800센트, 그리고 총 60장이에요.

20· 5+20· 10+20· 25=100+200+500=800 센트; 20+20+20=60 장

2STEP 2

관점 뒤집기: 800센트 중 710센트만 부치니, 빼놓는 우표는 정확히 90센트여야 해요.

800-710=90 센트(빼놓는 우표 가치)

3STEP 3

90을 최소 장수로: 큰 단위 먼저, 25센트 3장이 75센트를 채우고 15센트가 남아요.

3× 25=75; 90-75=15 센트 남음

4STEP 4

15센트는 10센트·5센트 한 장씩으로 채워, 빼놓는 우표는 3+1+1=5장이고 재고도 충분해요.

15=10+5; 빼놓는 장수=3+1+1=5

5STEP 5

빼놓는 장수를 빼면 60-5=55장 사용 — 최대이고 보기 (E)와 일치해요.

60-5=55 → (E)

6STEP 6

직접 검산: 5센트 19장+10센트 19장+25센트 17장=55장, 금액은 95+190+425=710센트. ✓

19+19+17=55 장; 19· 5+19· 10+17· 25=95+190+425=710 센트✓

정답

55장이 그럴듯한지 점검해 봅니다. 니콜라스는 800센트어치의 우표 60장을 가지고 있는데 필요한 금액은 710센트뿐이므로 90센트가 "남는" 상황입니다. 이 90센트를 빼놓을 때 "가장 적은 장수"로 빼려면 큰 액면(쿼터)을 위주로 빼야 하고, 그 결과 빼놓는 장수가 5장이 됩니다. 그러므로 사용 장수는 60-5=55장으로, 보기 중 가장 큰 값이며 "최대화"라는 문제 요구와도 일치합니다. 45, 46 같은 작은 보기는 굳이 더 많은 우표를 빼놓는다는 뜻이라 "최대"가 될 수 없습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 '다단계 문장제 풀이'만 알면 풀 수 있어요!

비슷한 유형 더 풀어보기