AMC 8 · 2023 · #16

학년 4 patterncounting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula

pattern-recognitionmodular-arithmeticmulti-digit-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pattern-recognitionmultiples

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문제

20 × 20 격자에 문자 P, Q, R 을 다음 규칙으로 채웁니다 — 1행은 P, Q, R, P, Q, R, … 로 시작하고, 2행은 한 칸 밀려 Q, R, P, Q, R, P, …, 3행은 두 칸 밀려 R, P, Q, R, P, Q, … 로 시작하며, 이후 행은 같은 3행 묶음이 반복됩니다. 완성된 20 × 20 격자에 P, Q, R 이 각각 몇 개씩 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

132 Ps, 134 Qs, 134 Rs

(B)

133 Ps, 133 Qs, 134 Rs

(C)

133 Ps, 134 Qs, 133 Rs

(D)

134 Ps, 132 Qs, 134 Rs

(E)

134 Ps, 133 Qs, 133 Rs

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

격자는 아주 작은 반복 단위 — 3행(P Q R …, Q R P …, R P Q …) 짜리 묶음 — 이 아래로 계속 반복되는 구조입니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 이런 상황에 딱입니다: 가장 작은 반복 묶음을 분석해 문자 수를 세고, 그 묶음이 20 × 20 안에 몇 개 들어가는지 곱하면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 먼저 깔끔한 18 × 3 부분(완전한 3행 묶음 6개) 을 해결하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 20 × 20 을 '3행 묶음 6개(1 - 18행)' 와 '남은 두 행(19, 20행)' 두 조각으로 나눠 — 한 번에 풀기 어려운 문제 대신 쉬운 두 조각을 처리합니다.

1STEP 1

1행 주기 PQR를 20칸에 읽으면 20 = 6·3 + 2, 완전 주기 6개에 남은 P, Q 로 7 P, 7 Q, 6 R.

1행: P 6 + 1 = 7, Q 6 + 1 = 7, R 6

2STEP 2

2행은 한 칸 민 QRP 주기: 6주기에 남은 Q, R 로 6 P, 7 Q, 7 R.

2행: P 6, Q 6 + 1 = 7, R 6 + 1 = 7

3STEP 3

3행은 두 칸 민 RPQ 주기: 6주기에 남은 R, P 로 7 P, 6 Q, 7 R.

3행: P 6 + 1 = 7, Q 6, R 6 + 1 = 7

4STEP 4

1~3행(최소 반복 묶음)을 더하면 7+6+7, 7+7+6, 6+7+7 로 20 P, 20 Q, 20 R — 완벽히 균등.

P: 7+6+7 = 20, Q: 7+7+6 = 20, R: 6+7+7 = 20

5STEP 5

4행은 1행과 같아 3행마다 반복; 18 = 6·3 이므로 1~18행은 6묶음 → 120 P, 120 Q, 120 R.

1 - 18행: P 6 × 20 = 120, Q 120, R 120

6STEP 6

남은 19·20행은 1·2행과 같아 (7,7,6) + (6,7,7) → 13 P, 14 Q, 13 R.

19, 20행: P (7+6) = 13, Q (7+7) = 14, R (6+7) = 13

7STEP 7

합치면 120,120,120 + 13,14,13 → 133 P, 134 Q, 133 R, 즉 (C).

P: 120 + 13 = 133, Q: 120 + 14 = 134, R: 120 + 13 = 133 → (C)

정답

133 Ps, 134 Qs, 133 Rs

합 검사: 133 + 134 + 133 = 400 = 20 × 20 이므로 모든 칸이 정확히 한 번씩 세어졌습니다. 또한 400 ÷ 3 = 133 나머지 1 이라, 세 개수는

\frac{400}{3}

≈ 133.3 근처여야 하고, 정확히 한 문자가 134, 다른 두 문자가 133 이어야 함을 미리 알 수 있습니다. 합이 400이 되는 선택지는 (A), (B), (C), (D), (E) 모두지만 '한 문자만 134, 나머지는 133' 패턴을 만족하는 것은 (B), (C), (E) 뿐이고, 그림에서 Q 가 '하나 더 많은' 문자로 드러나 (C) 가 답이 됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙에 따라 패턴 만들기" 만 알면 풀 수 있어요 — 가장 작은 반복 묶음을 찾아 세고, 곱하면 끝!

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