AMC 8 · 2023 · #17

학년 6 geometry-3d

유형 Net Folding / Face Adjacency └ 세부 유형 Fold Net to Locate Opposite or Adjacent Face

spatial-visualizationpolyhedron-netsface-adjacency physical-representationcasework ↑ 선수 지식: spatial-visualizationpolyhedron-nets

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

정팔면체는 정삼각형 8개로 이루어져 있고 각 꼭짓점마다 4개의 면이 모입니다. 왼쪽 전개도에는 1 부터 7 까지 번호가 매겨진 면 7개와 면 Q 한 개, 총 8개의 면이 있습니다. 이 전개도를 접어서 오른쪽 정팔면체를 만들었을 때, 면 Q 의 오른쪽 모서리(3차원 그림에서 "?" 로 표시된 모서리) 에 붙는 번호가 매겨진 면은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 직접 만져보기 (Create a Physical Representation)

전형적인 "전개도를 접어 입체를 만드는" 문제로, 종이를 직접 잘라 접어보는 도구 #10(직접 만져보기) 이 가장 잘 맞습니다 — 손에서 면 Q 의 오른쪽에 어느 번호가 닿는지 바로 보입니다. 종이가 없을 때는 도구 #17(공간 관계 시각화하기) 로 같은 동작을 머릿속에서 따라가면 됩니다. 도구 #2(체계적으로 나열하기) 는 탐색을 정리해 줍니다 — 면 Q 의 세 모서리 중 두 개(6, 7 과 만나는 것)는 이미 붙어 있어, 자유 모서리 하나만 전개도 둘레를 따라가며 찾으면 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기) 으로 보면 선택지 2, 3, 5 는 이미 다른 면의 이웃으로 묶여 있어 후보에서 빠지고, 남는 것은 1 뿐입니다.

1STEP 1

전개도를 접으면 면 Q 는 이웃 6, 7 을 그대로 두고, 오른쪽 모서리 하나만 자유롭게 남습니다.

2STEP 2

전개도 둘레에서 자유 모서리를 가진 면은 Q, 6, 4, 1, 2, 3, 5, 7 이고, Q 는 이 중 하나와 붙습니다.

둘레의 면 (각각 자유 모서리 1개씩): Q, 6, 4, 1, 2, 3, 5, 7

3STEP 3

면 2, 3, 5 는 반대쪽 뚜껑(Q 와 꼭짓점만 공유), 4 는 6 과 붙으므로, Q 의 자유 모서리에는 1 만 남습니다.

제외: 2, 3, 4, 5 → 남는 후보: 1

4STEP 4

뚜껑이 접히며 네 꼭짓점 Q, 6, 4, 1 이 한 점에서 만나고, 6 은 Q 왼쪽, 4 는 건너편, 1 은 Q 오른쪽에 놓입니다.

뚜껑 꼭짓점: Q ⇔ 6 ⇔ 4 ⇔ 1 ⇔ Q

5STEP 5

Q 의 오른쪽 이웃은 면 1 이므로, 답은 (A) 입니다.

Q 의 오른쪽 면 = 1 → (A)

정답

도형의 성질로 검토해 봅니다. 정팔면체는 꼭짓점 6 개를 가지며 각 꼭짓점마다 면 4 개가 모이므로, 네 면 Q, 6, 4, 1 이 한 꼭짓점을 공유하는 결과는 정팔면체의 구조와 완벽히 일치합니다. 또한 Q 의 세 모서리 각각에는 이웃 면이 정확히 하나씩 있어야 하는데, 전개도에서 이미 6 과 7 이 두 모서리를 차지하고 있으니 남은 하나는 정확히 한 면 — 여기서는 1 입니다. 그리고 면 2, 3, 5 는 7 과 함께 정팔면체의 반대쪽 뚜껑(아래쪽 꼭짓점에 모이는 네 면) 을 이루므로 Q 와는 모서리로 닿을 수 없다는 점도 위의 가지치기와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "평면 전개도는 접으면 입체 도형이 된다" 만 알면 풀 수 있어요!

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