경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2023 · #18
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AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
오른쪽으로만 뛰면 2023 / 5 = 404.6 점프가 필요한데 자연수가 아니라 불가능합니다. 그렇다면 5R 이 2023 보다 살짝 큰 가장 작은 R 부터 차례로 시도해서, 초과량 5R - 2023이 3의 배수인지 확인하면 됩니다 — 바로 도구 #6(추측하고 확인하기)입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 "2023을 얼마나 초과하고, 그 초과분이 3 들로 만들어지는가?" 라는 더 간단한 질문으로 바꿔 줍니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 초과량이 3의 배수가 되는지 확인하는 데 도움이 됩니다.
식 세우기
오른쪽은 +5, 왼쪽은 -3; +2023에 도착하려면 5R - 3L = 2023이 되어야 합니다.
실생활 상황을 곱셈·뺄셈이 들어간 방정식으로 옮기는 것은 3학년 "곱셈·나눗셈 문장제" 그대로입니다.
3.OA.A.3Solve An Easier Related Problem오른쪽 점프 최솟값 잡기
왼쪽은 깎기만 하니 오른쪽만으로 2023에 닿아야 함; 5 × 404 = 2020은 2023 보다 작아 R ≥ 405.
5 × 404, 5 × 405를 2023과 비교하는 것은 3학년 구구단(곱셈 사실) 유창성입니다.
3.OA.C.7Guess And Check오른쪽 점프 405번 시도하기
R = 405 시도: 5R = 2025, 초과 2. 3L = 2는 자연수 L 없음 (2는 3의 배수 아님). 기각.
2가 3의 배수인지 확인하는 것은 4학년 "배수와 약수" 개념입니다.
4.OA.B.4Guess And Check오른쪽 점프 406번 시도하기
R = 406 시도: 5R = 2030, 초과 7. 7도 3의 배수 아님. 기각.
작은 수가 3의 배수인지 다시 점검 — 같은 4학년 배수 기능입니다.
4.OA.B.4Guess And Check오른쪽 점프 407번 시도하기
R = 407 시도: 5R = 2035, 초과 12 = 3 × 4, L = 4 성립 — 총 R + L = 411.
5R = 2035 에서 R = 407, 3L = 12 에서 L = 4를 구하는 것은 4학년 "네 자리 수까지의 몫과 나머지" 그대로입니다.
4.NBT.B.6Guess And Check최솟값인지 확인하기
오른쪽 3 번 늘 때마다 왼쪽 5 번 필요 → 총합 8 씩 증가; 이후 해는 더 큼. 최소 411, 답 (D).
"오른쪽 +3, 왼쪽 +5" 사이클이 총합을 +8 씩 키운다는 관찰은 5학년 "두 수 패턴 사이의 관계 찾기" 표준입니다.
왼쪽 점프를 가장 적게 쓰는 성공 조합이 전체 점프 수도 가장 적어서, 다른 어떤 조합도 이를 이길 수 없다.
▸ 왜?
왼쪽 점프가 늘면 오른쪽 점프도 반드시 따라 늘기 때문에, 다른 모든 성공 조합은 전체 수가 더 커진다.
▸ 왜?
왼쪽 점프는 3칸 뒤로 가는데, 그래도 목표에 정확히 도착하려면 그 뒤로 간 거리를 오른쪽 점프를 더해 되찾아야 하므로 두 개수가 함께 올라간다.
▸ 왜?
내준 거리를 되찾는 것은 뒤로 간 점프를 앞으로 가는 점프로 되돌리는 것일 뿐이라, 왼쪽 점프가 늘면 오른쪽 점프도 늘 수밖에 없다.
▸ 왜?
최종 도착 지점은 각 점프 이동을 모두 더한 합이므로, 그 합을 목표에 고정한 채 뒤로 가는 이동이 늘면 앞으로 가는 이동도 늘어야 한다.
▸ 왜?
오른쪽 5칸 점프가 목표에 정확히 떨어지게 하는 가장 작은 왼쪽 점프 수가 정해져 있고, 이 조합이 바로 그 가장 작은 수에 놓여 있다.
▸ 왜?
왼쪽 점프가 얼마간 뒤로 당긴 뒤 남은 거리는 5칸짜리 점프로 딱 나누어떨어져야 하는데, 이를 가능하게 하는 왼쪽 점프 수는 일정한 간격으로 놓여 있어 그중 가장 작은 값이 분명히 정해진다.
▸ 왜?
남은 거리를 5칸짜리 점프로 나누면 나머지가 생기고, 오른쪽 점프는 그 나머지가 0일 때 — 즉 남은 거리가 5의 온전한 배수일 때 — 만 목표에 정확히 떨어진다.
▸ 왜?
성공하는 왼쪽 점프 수는 일정한 주기로 되풀이되므로, 가장 작은 값을 찾으면 나머지는 온전한 주기만큼 뒤라서 더 크다.
이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "같은 규칙을 반복하면 총합은 얼마씩 커지나?" 라는 두 수열의 관계만 알면 풀 수 있어요!
- 식 세우기
- 오른쪽 점프 최솟값 잡기
- 오른쪽 점프 405번 시도하기
- 오른쪽 점프 406번 시도하기
- 오른쪽 점프 407번 시도하기
- 최솟값인지 확인하기
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