경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2005 · #15
학년 5 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"몇 개" 를 묻고, 후보가 유한하며, 후보마다 검사는 단순합니다 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 딱 맞는 신호죠. 반복되는 변 a 를 기준으로 정렬하면, a 가 정해지는 순간 둘레가 나머지 변을 b = 23 - 2a 로 못 박아 줍니다. 그래서 a 하나당 후보가 최대 한 개. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 후보의 삼각형 부등식 a + a ＞ b 만 따져 보면 됩니다. 대수 없이 끝나고, 가장 큰 곱셈도 11 × 1 = 11입니다.
b를 a로 나타내기
이등변 세 변 (a, a, b) 에서 둘레 a + a + b = 23, 즉 b = 23 - 2a 로 두고 a 를 키우며 나열합니다.
3학년 둘레는 "변을 모두 더하기". 이 식을 b 에 대해 풀면 두 미지수가 하나로 줄어듭니다.
3.MD.D.8Make A Systematic List가장 큰 a 구하기
b = 23 - 2a ≥ 1이면 a ≤ 11, 그리고 a ≥ 1이라 삼각형 검사 전 a 후보는 1부터 11까지.
"b 는 양의 정수" 라는 말 조건을 a 의 수 조건으로 옮기는 4학년 다단계 사고.
4.OA.A.3Make A Systematic List삼각형 부등식 확인하기
각 a (1~11)에 삼각형 부등식 a + a ＞ b 를 검사하면 a ≤ 5는 탈락, a ≥ 6 은 통과.
5학년은 변의 길이로 삼각형을 분류합니다. 삼각형 부등식은 "이 세 변으로 정말 삼각형이 닫히는가?" 검사예요 — 이등변에서는 2a ＞ b 만 보면 충분.
세 길이 a, a, b는 두 같은 변의 합이 세 번째 변보다 길 때, 즉 2a ＞ b일 때에만 진짜 삼각형을 이룬다.
▸ 왜?
삼각형이 되려면 두 같은 변이 세 번째 변 위쪽의 한 꼭짓점에서 만나야 하고, 세 번째 변은 그 두 아래 끝 사이의 곧은 간격이므로, 두 같은 변의 합이 그 간격보다 더 멀리 닿아야 위에서 맞물려 닫힌다.
▸ 왜?
두 같은 변은 세 번째 변의 한 끝에서 다른 끝으로 가는 꺾인 경로를 이루는데, 두 점 사이의 꺾인 경로는 두 점을 잇는 곧은 선분보다 언제나 길므로, 그 합한 길이 2a는 b보다 커야 한다.
통과한 경우 세기
통과한 줄 a = 6부터 11까지 세면 모두 여섯 개.
체계적 나열의 마무리는 통과한 줄 세기. 4학년 다단계 문제는 결국 자연수 개수로 끝납니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List"몇 개?" 라는 문제는 빠짐없이 나열하기로 풀어요. 둘레가 반복되는 변에서 나머지 변을 정해 주니, 각 줄에서 따질 것은 단 하나 — 같은 두 변이 충분히 길어서 삼각형이 닫히는가입니다.
- b를 a로 나타내기
- 가장 큰 a 구하기
- 삼각형 부등식 확인하기
- 통과한 경우 세기
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.