AMC 8 · 2023 · #19

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-trianglessimilar-figuresratio-proportion area-differenceeasier-related-problem ↑ 선수 지식: area-trianglesratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

큰 정삼각형 안에 작은 정삼각형이 들어 있어, 둘 사이의 띠 모양 영역이 세 개의 합동인 사다리꼴로 나뉩니다. 작은 삼각형의 한 변 길이는 큰 삼각형의 한 변 길이의

\frac{2}{3}

입니다. 사다리꼴 하나의 넓이와 안쪽 정삼각형의 넓이의 비를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1 : 3

(B)

3 : 8

(C)

5 : 12

(D)

7 : 16

(E)

4 : 9

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

묻는 것은 변의 길이와 무관한 ‘비’ 하나뿐이므로, 추상적인 식 대신 가장 다루기 쉬운 구체 값으로 바꿉니다 — 바깥 변 = 3, 안쪽 변 = 2. 두 정삼각형은 닮음이므로 안쪽:바깥 넓이비는 ( $\frac{2}{3}$ )² = $\frac{4}{9}$ 이고, 안쪽 넓이 = 4, 바깥 넓이 = 9 짜리 단위로 두면 제곱근이 등장하는 정삼각형 넓이 공식을 쓰지 않아도 됩니다. 이어서 풀이를 두 단계 작은 문제로 쪼개고 (도구 7) — (i) 세 사다리꼴의 넓이 합 구하기, (ii) 3으로 나누기 — (i)에서는 여집합(도구 16) 즉 ‘바깥 - 안쪽’ 을 봅니다. 그림(도구 1)으로 분할을 한눈에 잡습니다.

1STEP 1

안쪽 삼각형과 세 사다리꼴이 바깥 삼각형을 채우므로, 사다리꼴 전체는 바깥 넓이 - 안쪽 넓이 입니다.

3 · T = A_바깥 - A_안쪽

2STEP 2

두 삼각형은 닮음비 $\frac{2}{3}$ 의 닮음이므로 넓이비는 그 제곱, 즉 안쪽 : 바깥 = $\frac{4}{9}$ 입니다.

\frac{A_안쪽}{A_바깥}

= (

\frac{2}{3}

)² =

\frac{4}{9}

3STEP 3

넓이가 자연수가 되도록 단위를 잡습니다 — 안쪽 넓이 = 4, 바깥 넓이 = 9. 4 : 9 비는 그대로이고 제곱근 계산을 피합니다.

A_안쪽 = 4, A_바깥 = 9

4STEP 4

세 합동 사다리꼴이 띠를 채우므로 합은 9 - 4 = 5, 3으로 나누면 사다리꼴 하나는 $\frac{5}{3}$ 입니다.

3T = 9 - 4 = 5 ⟹ T =

\frac{5}{3}

5STEP 5

묻는 비를 세우면 ( $\frac{5}{3}$ ) : 4 = 5 : 12 — 사다리꼴 대 안쪽 삼각형의 비입니다.

\frac{T}{A_안쪽}

= (

\frac{5}{3}

)/4 =

\frac{5}{12}

⟹ T : A_안쪽 = 5 : 12

정답

5 : 12

전체 합을 다시 맞춰 봅니다 — 사다리꼴 한 개가

\frac{5}{3}

이므로 세 개 합은 5, 여기에 안쪽 넓이 4 를 더하면 정확히 바깥 넓이 9 가 되어 그림과 일치합니다. 또한 답 5{:}12 ≈ 0.417 은 보기 (A) 1{:}3 ≈ 0.333 과 (E) 4{:}9 ≈ 0.444 사이에 있어 크기 감도 자연스럽습니다. (A) 1{:}3 은 ‘세 사다리꼴 합 = 안쪽’ 을 뜻하는데, 실제 띠는 9 - 4 = 5 ＞ 4 로 안쪽보다 크므로 (A)는 너무 작고, (E) 4{:}9 는 안쪽:바깥의 비여서 자주 헷갈리는 함정 보기입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 ‘닮음비의 제곱이 넓이비’ 만 알면 풀 수 있어요!

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