AMC 8 · 2023 · #22

학년 6 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

prime-factorizationexponentsrecursive-sequence pattern-recognitioncaseworkprime-factorization ↑ 선수 지식: prime-factorizationexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

양의 정수로 이루어진 어떤 수열에서, 세 번째 항부터는 항상 "바로 앞 두 항의 곱"이 다음 항이 됩니다. 이 수열의 여섯 번째 항이 4000 일 때, 맨 처음 첫째 항은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

출발 값이 두 개(a₁, a₂)인데 조건은 단 하나(a₆ = 4000)이므로, 미지수에 문자를 붙여 점화식을 따라 전개해 두 미지수에 대한 "하나의 식" 으로 정리하는 것이 자연스럽습니다 — 이것이 도구 #13(대수로 바꾸기)의 전형적인 쓰임입니다. 항을 하나씩 곱해 가다 보면 a 의 지수와 b 의 지수가 각각 피보나치 수열 모양(0,1,1,2,3,5,…)을 따른다는 점을 발견할 수 있는데, 이 패턴 인식이 도구 #5(패턴 찾기)의 역할이며 전개의 손맛을 한결 가볍게 해 줍니다. 마지막에 4000 의 소인수분해와 지수를 맞춰 a, b 를 읽어내는 것은 대수가 일을 끝낸 뒤의 깔끔한 수론적 마무리입니다.

1STEP 1

모르는 첫 두 항에 문자를 붙입니다: a₁ = a, a₂ = b (양의 정수). 첫째 항을 구하는 일은 곧 a 를 찾는 일입니다.

a₁ = a, a₂ = b

2STEP 2

규칙을 한 항씩 적용하면 a 와 b 의 지수가 각각 피보나치 모양으로 늘어나 a₆ = a³ b⁵ 가 됩니다.

a₃ = ab, a₄ = a₃ · a₂ = ab², a₅ = a₄ · a₃ = a² b³, a₆ = a₅ · a₄ = a³ b⁵

3STEP 3

문자로 쓴 여섯 번째 항을 주어진 값과 같다고 놓으면 a³ b⁵ = 4000 이라는 하나의 식이 생깁니다.

a³ b⁵ = 4000

4STEP 4

오른쪽의 값도 소인수분해해 양변의 지수 모양을 맞춥니다: 4000 = 2⁵ · 5³.

4000 = 2² · 1000 = 2² · (2 · 5)³ = 2⁵ · 5³

5STEP 5

유일한 소인수분해에서 지수를 맞추면 a³ 은 5³, b⁵ 은 2⁵ 과 짝지어져 a = 5, b = 2 — 첫째 항은 (D) 입니다.

a³ b⁵ = 5³ · 2⁵ → a = 5, b = 2 → a₁ = 5 (D)

정답

a₁ = 5, a₂ = 2 를 도로 수열에 넣어 앞으로 진행해 봅니다 — a₃ = 5 · 2 = 10, a₄ = 2 · 10 = 20, a₅ = 10 · 20 = 200, a₆ = 20 · 200 = 4000. 여섯 번째 항이 정확히 4000 이 나오므로 답 a₁ = 5 는 문제의 모든 조건과 어긋나지 않습니다. 다른 선택지로는 이 검산이 실패합니다 — 예를 들어 a₁ = 1 이면 식이 b⁵ = 4000 이 되는데, 4000 은 어떤 양의 정수의 다섯제곱도 아닙니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 거듭제곱과 소인수분해만 알면 풀 수 있어요!

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