AMC 8 · 2023 · #23

학년 7 geometry-2d

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basicspatial-visualization complementary-countingsystematic-enumerationeasier-related-problem ↑ 선수 지식: probability-basicfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

3 × 3 격자의 9 칸을 서로 독립적으로 4 가지 회색-흰색 삼각형 타일 중 하나로 채웁니다(각 타일은 같은 확률). 이렇게 만든 무작위 타일링이 격자 안에 있는 네 개의 2 × 2 부분 격자(왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래) 중 어딘가에서 회색 삼각형 네 조각이 공통 꼭짓점에 모여 큰 회색 마름모를 이룰 확률을 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{1024}$

(B)

$\frac{1}{256}$

(C)

$\frac{1}{64}$

(D)

$\frac{1}{16}$

(E)

$\frac{1}{4}$

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

확률 = $\frac{유리한 경우의 수}{전체 경우의 수}$ 로 계산합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 마름모가 생길 수 있는 2 × 2 위치 4 곳을 빠짐없이 정리하고 각 경우의 수를 세고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "전체 경우", "한 위치의 유리한 경우", "위치끼리 겹칠 수 있는가" 의 세 부분 문제로 나눕니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 결정적 한 수입니다 — 먼저 더 쉬운 "특정 한 곳의 2 × 2 에 마름모가 생길 확률" 을 구하면 ( $\frac{1}{4}$ )⁴ = $\frac{1}{256}$ 이고, 위치를 늘리면서 겹침만 확인하면 됩니다.

1STEP 1

표본공간 세기: 9 칸 각각 4 가지 중 하나를 독립 선택하니 곱셈 원리로 4⁹ 가지.

4⁹ = 262,144

2STEP 2

더 쉬운 문제: 한 2 × 2 에 마름모가 생기려면 4 칸이 1 가지로 고정, 나머지 5 칸은 자유라 4⁵ 가지.

1 · 4⁵ = 1024 (특정 한 곳에 마름모가 있는 타일링 수)

3STEP 3

마름모가 생길 위치는 네 곳 — 좌상·우상·좌하·우하; 대칭으로 각 곳마다 4⁵ 가지.

4 곳 × 4⁵ 가지/곳 (겹침 확인 전)

4STEP 4

어느 두 2 × 2 도 공유 칸의 마름모 방향이 충돌하니, 네 사건은 서로 배반입니다.

(왼쪽 위 마름모) ∩ (오른쪽 위 마름모) = ∅, 다른 쌍들도 마찬가지

5STEP 5

배반이니 그냥 더하면 4·4⁵ = 4⁶ 유리, P = $\frac{4⁶}{4⁹}$ = $\frac{1}{64}$ → (C).

P =

\frac{4 · 4⁵}{4⁹}

\frac{4⁶}{4⁹}

\frac{1}{4³}

\frac{1}{64}

→ (C)

정답

\frac{1}{64}

확률을 다른 시각으로 확인: 특정 한 2 × 2 마름모는 4 칸이 각각

\frac{1}{4}

확률의 정해진 방향이어야 하므로 (

\frac{1}{4}

)⁴ =

\frac{1}{256}

. 위치 4 곳이 서로 배반이므로 합치면 4 · (

\frac{1}{256}

) =

\frac{4}{256}

\frac{1}{64}

. 선택지 (C) 와 정확히 일치합니다. 값이 작긴 하지만 너무 작지도 않습니다 — "256 분의 4" 수준의 사건이 만들어지는 합리적 크기이고,

\frac{1}{256}

(한 곳만 고정) 과

\frac{1}{16}

(만약 네 곳이 독립이었다면 나왔을 값) 사이에 자리 잡고 있어 직관과 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 복합 사건 확률 — 유리한 타일 배열의 수를 세서 전체로 나누기 — 만 알면 풀 수 있어요!

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