경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2023 · #24

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglessimilar-figuresratio-proportion area-differenceidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-trianglessimilar-figures

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

이등변삼각형 ABC (AB = BC)가 있고, 밑변 AC 에서 꼭짓점 B 까지의 전체 높이는 h 입니다. 같은 삼각형 두 개를 그려, 각 그림마다 밑변 AC 에 평행한 선을 하나씩 다른 위치에 긋습니다. 첫 번째 그림에서는 꼭대기에 색칠하지 않은 작은 삼각형(높이 11)이 남고, 그 아래 사다리꼴이 색칠됩니다. 두 번째 그림에서는 꼭대기의 작은 삼각형이 색칠되고, 아래쪽에 색칠하지 않은 사다리꼴(높이 5)이 남습니다. 두 그림의 색칠된 부분의 넓이가 같다고 할 때 h 를 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

14.6

(B)

14.8

(C)

(D)

15.2

(E)

15.4

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

두 그림의 색칠 넓이를 각각 따로 구해서 "두 값이 같다" 로 연결하는 구조이므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 딱 맞습니다. 도구 #1(그림 그리기)로 두 작은 위쪽 삼각형의 높이(11과 h-5)를 명확히 표시해 두면, 둘 다 △ ABC 와 닮음이라는 사실에서 넓이가 A_total · (높이비)²로 바로 나옵니다. 두 식을 같다고 놓는 순간 A_total과 h²가 모두 약분되며 식이 일차방정식으로 줄어드므로 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 마무리합니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지를 직접 대입해도 풀리며, 이는 검토 단계에서 다룹니다.

1STEP 1

두 그림에 표시하기

평행선으로 잘린 위 삼각형은 △ABC 와 닮음. 그림 1의 위 삼각형 높이는 11, 그림 2의 색칠된 위 삼각형 높이는 h - 5.

그림 1: 위쪽 작은 삼각형 높이 = 11. 그림 2: 위쪽 작은 삼각형 높이 = h - 5.

2STEP 2

그림 1 색칠 넓이 구하기

그림 1의 색칠된 사다리꼴은 전체에서 위 삼각형을 뺀 것이고, 위 삼각형 넓이 비율은 ( $\frac{11}{h}$ )² = $\frac{121}{h^2}$ 입니다.

A_색칠,1 = A_total - A_total · 121/h² = A_total (1 - 121/h²)

3STEP 3

그림 2 색칠 넓이 구하기

그림 2의 색칠된 부분은 높이비 $\frac{h-5}{h}$ 인 위 삼각형 자체이므로, 넓이 비율은 ( $\frac{h-5}{h}$ )² 입니다.

A_색칠,2 = A_total · ((h-5)/h)² = A_total · ((h-5)²)/h²

4STEP 4

두 넓이를 같게 놓기

두 색칠 넓이를 같다고 놓고 A_total 로 나눈 뒤 h²을 곱해 분모를 없애면 h² - 121 = (h-5)².

1 - 121/h² = ((h-5)²)/h² ⟹ h² - 121 = (h-5)²

5STEP 5

제곱항 약분하기

오른쪽을 전개하면 양변 h²이 약분되어, 이차처럼 보이던 식이 사실 일차식: 10h = 146.

h² - 121 = h² - 10h + 25 ⟹ -121 = -10h + 25 ⟹ 10h = 146

6STEP 6

10으로 나누고 선택지 고르기

양변을 10으로 나누면 h = 14.6, 선택지 (A)입니다.

h = 146/10 = 14.6 ⟹ (A)

정답

14.6

h = 14.6으로 한번 확인해 봅시다. 그림 1의 색칠하지 않은 위쪽 삼각형은 전체의

\frac{121}{14.6²}

\frac{121}{213.16}

≈ 0.568 이므로, 색칠된 사다리꼴은 1 - 0.568 ≈ 0.432. 그림 2의 색칠된 삼각형은 높이가 14.6 - 5 = 9.6이고 넓이비는 (

\frac{9.6}{14.6}

)² =

\frac{92.16}{213.16}

≈ 0.432 — 두 값이 정확히 일치합니다. 또한 14.6 ＞ 11이라 그림 1의 잘린 선이 꼭짓점 아래에 있다는 기하 조건도 만족하므로 합리적입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 닮음(넓이비 = 길이비의 제곱)과 간단한 일차방정식만 알면 풀 수 있어요!

두 그림에 표시하기
그림 1 색칠 넓이 구하기
그림 2 색칠 넓이 구하기
두 넓이를 같게 놓기
제곱항 약분하기
10으로 나누고 선택지 고르기

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