경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2023 · #25

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

sequences-arithmeticlinear-equations-two-vardigit-sum bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

수직선 위에 15 개의 정수 a₁, a₂, …, a₁₅가 일정한 간격으로 놓여 있습니다. 첫째 항은 1 ≤ a₁ ≤ 10, 둘째 항은 13 ≤ a₂ ≤ 20, 마지막 항은 241 ≤ a₁₅ ≤ 250 을 만족합니다. 이때 a₁₄의 각 자리 숫자의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

"일정한 간격으로 놓인 정수" 라는 표현은 곧장 도구 #5(패턴 찾기) — 등차수열 패턴 a_n = a₁ + (n-1)d — 로 안내합니다. 모든 항을 a₁과 d 만으로 표현할 수 있게 되면, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 단계로 나눕니다: 먼저 공차 d 를 찾고, 그 다음 첫째 항 a₁을 찾습니다. 이때 a₁₅ - a₂ = 13d 처럼 차를 이용하면 a₁이 사라져 d 의 범위를 좁힐 수 있습니다. 마지막은 도구 #3(가능성 지우기) — 범위 안의 정수 후보 중 모순을 일으키는 값을 지워 나가면 유일한 해가 남습니다.

1STEP 1

수열 공식 세우기

등간격 정수는 등차수열이므로 모든 항이 규칙 a_n = a₁ + (n-1)d 를 따릅니다.

a_n = a₁ + (n-1)d → a₂ = a₁ + d, a₁₄ = a₁ + 13d, a₁₅ = a₁ + 14d

2STEP 2

공차 범위 잡기

a₁₅ 에서 a₂를 빼면 a₁이 사라지고 221 ≤ 13d ≤ 237 만 남습니다.

a₁₅ - a₂ = 13d, 241 - 20 ≤ 13d ≤ 250 - 13, 221 ≤ 13d ≤ 237

3STEP 3

공차를 하나로 좁히기

13으로 나누면 d ∈ {17, 18}이고, d = 18이면 a₁₅ ≥ 253으로 초과하므로 d = 17 만 남습니다.

221/13 ≤ d ≤ 237/13 → d ∈ {17, 18}; d = 18 → a₁₅ ≥ 253 ＞ 250 → d = 17

범위 안의 정수 후보를 늘어놓고 모순이 되는 값을 지우는 것이 도구 #3(가능성 지우기) — 여전히 6학년 부등식 추론 안에 있습니다.

이웃한 항 사이의 공차는 오직 17일 수밖에 없다.

▸ 왜?

범위 조건을 견디는 정수 공차는 17과 18 둘뿐인데, 공차가 18이면 15번째 항이 허용된 상한을 넘어서므로 남는 값은 17 하나뿐이다.

▸ 왜?

2번째 항에서 15번째 항까지의 상승분은 같은 크기의 걸음 13개이므로 그 크기는 221과 237 사이에 놓여야 하고, 이를 13걸음으로 나누면 한 걸음이 17과 약 18.2 사이로 강제되어 정수로는 17과 18만 남는다.

▸ 왜?

2번째 항에서 15번째 항까지는 같은 크기의 걸음이 13개 있으므로, 전체 상승분은 공차를 13번 쌓아 올린 것이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

상승분은 15번째 항에서 2번째 항을 덜어낸 나머지 부분이며, 15번째 항이 허용된 만큼 크고 2번째 항이 허용된 만큼 작을 때 가장 넓어져 최대 250 - 13 = 237, 최소 241 - 20 = 221이 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

221에서 237 사이의 상승분을 13걸음에 똑같이 나누면 쌓아 올린 것이 되돌려져, 한 걸음이 17과 18을 갓 넘는 값 사이로 남는다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

공차가 18이면 15번째 항은 적어도 253이 되는데, 15번째 항이 도달할 수 있는 값은 250까지뿐이므로 공차 18은 불가능하다.

▸ 왜?

15번째 항은 첫째 항에 같은 크기의 걸음 14개를 더한 것이므로, 공차가 18이면 더해지는 상승분은 18을 14번 쌓은 252이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

첫째 항이 적어도 1이므로 15번째 항은 적어도 1 + 252 = 253이 되고, 이는 15번째 항이 가질 수 있는 가장 큰 값 250보다 크다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

6.EE.B.8Eliminate Possibilities

4STEP 4

첫째항 확정하기

d = 17이면 주어진 세 범위가 한 정수로 좁혀져 a₁ = 3 이 됩니다.

1 ≤ a₁ ≤ 10, -4 ≤ a₁ ≤ 3, 3 ≤ a₁ ≤ 12 → a₁ = 3

5STEP 5

14번째 항 구하고 각 자리 더하기

따라서 a₁₄ = 3 + 13 × 17 = 224, 자리 숫자 합은 2 + 2 + 4 = 8, 선택지 (A)입니다.

a₁₄ = 3 + 13 · 17 = 224, 2 + 2 + 4 = 8 → (A)

정답

검산: a₁ = 3, d = 17이면 a₂ = 20 (범위 [13, 20] 안 ✓), a₁₅ = 3 + 14 · 17 = 3 + 238 = 241 (범위 [241, 250] 안 ✓). 두 항이 모두 범위의 경계에 딱 붙어 있다는 점이 흥미로운데, 이는 세 조건이 사실상 해를 한 가지로 강제한다는 신호입니다. 공차 d = 17이 일정하고 15 개 항이 모두 3부터 241 사이의 정수이며, a₁₄ = a₁₅ - d = 241 - 17 = 224로 다시 한 번 확인됩니다. 200 근처 세 자리 수의 자리 숫자 합 2+2+4 = 8은 자연스러운 크기입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "부등식으로 범위를 좁혀 하나의 정수를 골라내는" 추론만 알면 풀 수 있어요!

수열 공식 세우기
공차 범위 잡기
공차를 하나로 좁히기
첫째항 확정하기
14번째 항 구하고 각 자리 더하기

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수열 공식 세우기

공차 범위 잡기

공차를 하나로 좁히기

첫째항 확정하기

14번째 항 구하고 각 자리 더하기

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