AMC 8 · 2023 · #4

학년 4 geometry-2d

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Coordinate Spiral Position

perfect-squaresprime-numberspattern-recognitionspatial-visualization pattern-recognitionprimality-testsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: perfect-squaresprime-numbers

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

1부터 49까지의 수를 7 × 7 격자에 가운데 1부터 시작하는 나선 모양으로 적어 놓았다. 네 개의 음영 처리된 칸은 모두 숫자 7과 같은 대각선(격자의 왼쪽 위 모서리에서 오른쪽 아래 모서리로 이어지는 대각선) 위에 있다. 이 네 개의 음영 칸에 들어가는 수가 무엇인지 알아내고, 그중 몇 개가 소수인지 세는 문제이다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

49개의 칸을 전부 채울 필요는 없다. 나선에는 깔끔한 패턴(도구 #5)이 있다 — 각 "층"이 끝나는 자리에는 완전제곱수(9, 25, 49)가 오고, 이 홀수 완전제곱수들은 모두 7과 같은 대각선 위에 놓인다. 그러니 필요한 부분만 그림으로 그려(도구 #1) 나선이 어느 방향으로 도는지 확인한 뒤, 각 완전제곱수에서 한두 칸씩 따라가며 음영 칸의 네 수를 빠짐없이 나열(도구 #2)하면 된다. 마지막으로 그 네 수의 소수 여부만 확인하면 끝 — 대수(도구 #13)도 큰 계산도 필요 없다.

1STEP 1

각 나선 층은 완전제곱수에서 끝나고, 홀수 제곱수 1, 9, 25, 49는 모두 7-대각선 위에 놓여 기준점이 된다.

1 = 1², 9 = 3², 25 = 5², 49 = 7² 모두 7-대각선(왼쪽 위 → 오른쪽 아래) 위에 있음

2STEP 2

25(5×5 층의 오른쪽 아래 모서리)에서 아래 가장자리를 거꾸로 세면 25, 24, 23. 오른쪽 아래 음영 칸은 23이다.

25, 24, 23 (5× 5 층의 아래 가장자리에서 25 로부터 두 칸 거꾸로)

3STEP 3

나머지 세 칸도 같은 방식(기준점 16, 36, 49): 네 음영 수는 19, 23, 39, 47.

네 음영 수 = {19, 23, 39, 47}

4STEP 4

소수 판정: 19, 23, 47은 소수, 39 = 3 × 13은 합성수 — 네 수 중 세 개가 소수다.

19 (소수), 23 (소수), 39 = 3 × 13 (합성수), 47 (소수) → 소수 3개

5STEP 5

음영 수 중 소수는 19, 23, 47 — 세 개 — 즉 보기 (D).

#{19, 23, 39, 47 중 소수} = 3 → (D)

정답

음영 칸은 모두 네 개이므로 답은 0부터 4 사이의 수여야 하고, 3은 그 범위 안에 있다. 후보 수(19, 23, 47)는 모두 작아서 손으로 검증할 수 있다 — 50 미만의 수는 √(49) = 7까지의 소수(2, 3, 5, 7)만 확인하면 충분하다. 유일한 합성수 39는 자릿수 합 3 + 9 = 12가 3의 배수이므로 한눈에 보인다. 그림과도 일치한다 — 네 음영 칸은 정말로 9, 25, 49 사이의 7-대각선 위에 놓인다. AMC 8 초반 문제의 난이도와도 잘 맞는다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 규칙 찾기와 소수 판정만 알면 풀 수 있어요!

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