AMC 8 · 2024 · #15

학년 4 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

place-valuemulti-digit-arithmeticdivisibility-rules digit-constraintssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticplace-value

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

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문제

여섯 글자 F, L, Y, B, U, G 가 각각 서로 다른 한 자리 숫자(0-9)를 나타냅니다. 세 자리 묶음 FLY 를 두 번 이어 붙인 여섯 자리 수 FLYFLY 가 등식 8 · FLYFLY = BUGBUG 를 만족하는 가장 큰 수일 때, 세 자리 수 FLY 와 BUG 의 합 FLY + BUG 의 값을 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1089

(B)

1098

(C)

1107

(D)

1116

(E)

1125

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

여섯 자리 수 FLYFLY 는 무서워 보이지만, 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 가 핵심을 풀어 줍니다. 작은 세 자리 수, 예를 들어 123 으로 123,123 을 만들어 보면 123,123 = 1000 × 123 + 123 = 1001 × 123 임이 자릿값에서 바로 보입니다. 같은 원리로 모든 세 자리 묶음에 대해 FLYFLY = 1001 × FLY 가 성립하고, 복잡해 보이던 식이 8 · FLY = BUG 로 깔끔하게 줄어듭니다. 그 다음 할 일은 "8 · FLY 도 세 자리 수이고 여섯 숫자가 모두 다른" FLY 중 가장 큰 것을 찾는 것 — 이것은 도구 #6 (추측하고 확인하기) 가 가장 잘 맞는 일입니다. 가장 큰 후보에서 시작해 한 칸씩 내려오면 됩니다. 도구 #2 는 그 내림차순 탐색을 정리해 주고, 도구 #3 은 최종 합이 선택지에 정확히 있는지 확인해 줍니다.

1STEP 1

묶음을 두 번 쓰면 그 값의 1001배이므로, 양변을 1001로 나누면 8 · FLY = BUG 로 줄어듭니다.

254,254 = 254 × 1001 → 8 · FLY = BUG

2STEP 2

BUG = 8 · FLY 도 세 자리여야 하므로 8 · FLY ≤ 999, 즉 FLY ≤ 999 ÷ 8 이라 FLY ≤ 124 입니다.

FLY ≤

\frac{999}{8}

= 124.875 → FLY ≤ 124

3STEP 3

맨 위 FLY = 124 부터: BUG = 8 × 124 = 992 인데 9 가 겹치고 L = 2 와도 충돌해 124 는 탈락.

FLY = 124 → BUG = 8 × 124 = 992, 숫자={1,2,4,9,9,2} (중복)

4STEP 4

한 칸 내려 FLY = 123: BUG = 8 × 123 = 984, 여섯 숫자 {1,2,3,9,8,4} 가 모두 달라 가장 큰 유효 값.

FLY = 123 → BUG = 8 × 123 = 984, 숫자={1,2,3,9,8,4} (모두 다름) ✓

5STEP 5

둘을 더하면 FLY + BUG = 123 + 984 = 1107, 선택지 (C) 입니다.

123 + 984 = 1107 → (C)

정답

1107

검산으로 FLY = 123 을 원래의 여섯 자리 등식에 다시 넣어 봅니다. 좌변 8 · 123,123 = 984,984, 우변 BUGBUG = 984,984 — 정확히 일치합니다. 여섯 숫자 {F, L, Y, B, U, G} = {1, 2, 3, 9, 8, 4} 도 모두 다릅니다. 그리고 FLY = 123 이 산술적 상한 124 보다 딱 한 칸 작다는 점도 자연스럽습니다 — 단지 124 한 경우가 "서로 다른 숫자" 조건에서 걸려 한 단계 내려왔을 뿐입니다. 답 1107 이 선택지 한가운데 위치한다는 점도, "한 번 실패 후 다음 성공" 식의 추측-확인이 흔히 도달하는 자리와 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 다자리 수 자릿값, 곱셈, 나눗셈, 덧셈만 알면 풀 수 있어요!

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