AMC 8 · 2024 · #22

학년 7 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

area-circlesrate dimensional-analysisarea-difference ↑ 선수 지식: area-circlesfraction-decimal-conversion

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

테이프를 옆에서 보면 가운데가 뚫린 고리 모양(환형, annulus) 입니다. 바깥 원의 지름은 4인치, 가운데 구멍(고리)의 지름은 2인치이고, 테이프 자체의 두께는 0.015인치입니다. 이 테이프를 처음부터 끝까지 다 풀면, 길이가 대략 얼마(가장 가까운 100인치 단위)가 되는지 구해야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

300

(B)

600

(C)

1200

(D)

1500

(E)

1800

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기 (Draw a Diagram)

핵심은 그림 두 개를 나란히 그리는 것입니다 (도구 #1): 말려 있을 때의 고리 모양 단면과, 풀었을 때의 길고 얇은 직사각형. 테이프를 실제로 푸는 모습을 머릿속으로 상상하면 (도구 #10), '테이프의 양' 자체는 그대로이고 모양만 바뀐다는 사실 — 즉 단면 넓이가 보존된다는 사실이 자연스럽게 보입니다. 그 다음에는 문제를 작은 조각으로 쪼개서 (도구 #7) (a) 고리의 넓이, (b) '넓이 = 길이 × 두께'에서 길이 구하기, (c) 반올림을 차례로 합니다. 마지막에 도구 #3으로 선택지와 맞춰봅니다. 대수(도구 #13)에 의존하지 않고도 풀 수 있으며, 꼭 알아야 할 공식은 오직 원의 넓이 공식 하나뿐입니다.

1STEP 1

테이프를 풀어도 단면의 양은 변하지 않으므로, 고리의 넓이가 풀린 띠의 넓이와 같습니다: 고리의 넓이 = L × t.

고리의 넓이 = L × t

2STEP 2

반지름은 지름의 절반이므로 R = 2인치, r = 1인치.

R =

\frac{4}{2}

= 2 인치, r =

\frac{2}{2}

= 1 인치

3STEP 3

고리의 넓이는 큰 원에서 구멍을 뺀 값: π·2² − π·1² = 3π 제곱인치.

고리의 넓이 = π R² - π r² = π(2²) - π(1²) = 4π - π = 3π

4STEP 4

3π = L × 0.015이므로 L = 3π ÷ 0.015, π ≈ 3.14를 쓰면 약 628인치.

L =

\frac{3π}{0.015}

\frac{9.42}{0.015}

= 628 인치

5STEP 5

628을 가장 가까운 100으로 반올림: 십의 자리 2가 5보다 작아 내림하여 600 — (B).

628 ≈ 600 → (B)

정답

600

크기가 말이 되는지 확인해 봅시다. 롤의 바깥 반지름은 2인치라서 바깥 둘레는 고작 2π ≈ 6.3인치인데, 우리가 얻은 길이는 628인치(1.6미터가 넘음)입니다. 이게 말이 될까요? 됩니다. 테이프가 매우 얇아서 (0.015인치), r=1과 R=2 사이에 약

\frac{2-1}{0.015}

≈ 67겹이 쌓여 있고, 각 겹의 평균 둘레는 약 2π · 1.5 ≈ 9.4인치이므로 67 × 9.4 ≈ 630인치, 628과 거의 정확히 맞습니다. 또 정확한 답이 200π로 깔끔하게 떨어진다는 점도 안심이 됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 원의 넓이 공식 π r²만 알면 풀 수 있어요 — 그리고 테이프를 길게 펼치는 그림 한 장이면 충분해요!

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