AMC 8 · 2024 · #23

학년 6 rate-ratio

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Grid Diagonal Cell Count

gcdcoordinate-geometrypattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: gcdcoordinate-geometrymulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

모눈종이 위에서 점 (2000, 3000) 과 점 (5000, 8000) 을 잇는 하나의 선분이 내부를 통과(꼭짓점만 스치는 것은 제외)하는 **모눈 칸의 총 개수**를 묻는 문제입니다. 보조 예시로 (0,4)→(2,0) 의 선분이 정확히 4 칸을 색칠한다는 사실이 그림과 함께 주어져 있습니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

6000

(B)

6500

(C)

7000

(D)

7500

(E)

8000

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

끝점의 숫자 2000, 3000, 5000, 8000 이 너무 커서 직접 칸을 세는 것은 불가능합니다. 그래서 가장 자연스러운 도구는 #9 — 숫자를 작게 줄여 (0,0)→(Δ x, Δ y) 모양의 작은 예시들을 도구 #1 로 직접 그려보고 결과를 표로 모으는 것입니다. 그 표에서 #5 패턴 찾기 로 "칸 개수 = Δ x + Δ y - (보정값)" 형태의 규칙을 발견하고, 보정값이 "선분이 통과하는 격자점의 개수"임을 확인합니다. 마지막에 #2 로 가능한 보정값을 빠짐없이 확인하고 원래 큰 숫자에 적용하면 됩니다. 초등학생도 그림 + 작은 표만으로 충분히 도달할 수 있는 길이라, 도구 #13(대수)이나 무거운 공식 유도는 필요하지 않습니다.

1STEP 1

격자 전체를 왼쪽 2000·아래 3000 옮기면 선분은 (0,0)→(3000, 5000)이 되고 칸 수는 그대로.

Δ x = 5000 - 2000 = 3000, Δ y = 8000 - 3000 = 5000

2STEP 2

(0,0)에서 작은 선분을 그려 세면 (1,1):1, (1,2):2, (2,3):4, (2,4):4, (3,5):7 칸.

(1,1):1, (1,2):2, (2,3):4, (2,4):4, (3,5):7

3STEP 3

규칙을 Δx + Δy - 1 로 추측하면 (1,2),(2,3),(3,5)는 맞지만 (2,4)는 5, (2,2)는 3이라 실제보다 큼.

(2,4):2+4-1=5 ≠ 4, (2,2):2+2-1=3 ≠ 2

4STEP 4

선분이 (1,2) 같은 격자점을 지나면 두 격자선을 한 점에서 건너 1을 더 빼야 하니 칸 수 = Δx + Δy - g.

(2,4):격자점 (1,2) 통과 → 2+4-2=4 ✓

5STEP 5

선분 위 격자점 수가 gcd(Δx, Δy)라서 g는 그 gcd. 곧 N = Δx + Δy - gcd(Δx, Δy)이고 작은 예시 모두 맞음.

N = Δ x + Δ y - gcd(Δ x, Δ y)

6STEP 6

3000=1000×3, 5000=1000×5라 gcd=1000. 따라서 N = 3000 + 5000 - 1000 = 7000, 선택지 (C).

N = 3000 + 5000 - 1000 = 7000 → (C)

정답

7000

공식 N = Δ x + Δ y - gcd 가 처음에 주어진 그림 예시 (0,4)→(2,0) 에서 Δ x = 2, Δ y = 4, gcd(2,4)=2 이므로 2+4-2=4 — 그림에 색칠된 정확히 4 칸과 맞아떨어집니다. 크기 감각으로도 3000+5000=8000 보다는 작고 3000+5000 의 절반 이상은 되어야 하므로 7000 은 자연스러운 값이며, 선택지 (A) 6000 은 격자점 보정을 너무 많이 빼서, (E) 8000 은 보정을 아예 안 빼서 나오는 전형적인 함정 값임을 확인할 수 있습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 최대공약수(GCD)만 알면 풀 수 있어요!

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