AMC 8 · 2024 · #5

학년 4 number-theory

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divisibility-rulesfactorsmultiples caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfactors

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문제

서연이가 표준 6면체 주사위 두 개를 던져, 두 눈의 곱이 6의 배수가 되었다. 보기 5, 6, 7, 8, 9 중에서 두 눈의 합 d₁ + d₂가 될 수 없는 정수를 찾아야 한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

확인해야 할 합 보기가 다섯 개뿐이고, 각 합을 만드는 주사위 쌍도 몇 개에 불과하므로 합이 같은 모든 쌍 (d₁, d₂)를 빠짐없이 나열할 수 있다(도구 #2). 어떤 쌍 하나라도 곱이 6의 배수이면 그 합은 가능한 것으로 확정되어 보기에서 지운다(도구 #3). 또한 'd₁ d₂가 6의 배수인가?'라는 큰 질문을 '2의 배수인가?'와 '3의 배수인가?'라는 두 개의 작은 질문으로 쪼개면 검사가 단번에 끝난다(도구 #7). 대수는 필요 없다.

1STEP 1

6 = 2 × 3이므로, 곱이 6의 배수이려면 두 눈에 짝수 하나와 3의 배수 하나가 있어야 한다.

6 = 2 × 3 → d₁ × d₂ ≡ 0 (mod 6) ⇔ (짝수 1개 이상) AND (3의 배수 1개 이상)

2STEP 2

합 5인 쌍 (1,4)→곱 4, (2,3)→곱 6. 2 × 3 = 6이 6의 배수이므로 합 5 가능, (A) 제외.

1+4=5, 1× 4 = 4 (불가) ; 2+3=5, 2× 3 = 6 ✓

3STEP 3

합 6인 쌍 (1,5)→5, (2,4)→8, (3,3)→9. 어느 것도 6의 배수가 아니라 합 6은 모든 쌍이 실패.

1× 5 = 5 (불가) ; 2× 4 = 8 (불가) ; 3× 3 = 9 (불가)

4STEP 4

합 7인 쌍 (1,6)→6, (2,5)→10, (3,4)→12. 6과 12가 6의 배수라 합 7 가능, (C) 제외.

1× 6 = 6 ✓ ; 2× 5 = 10 (불가) ; 3× 4 = 12 ✓

5STEP 5

합 8인 쌍 (2,6)→12, (3,5)→15, (4,4)→16. 2 × 6 = 12가 6의 배수라 합 8 가능, (D) 제외.

2× 6 = 12 ✓ ; 3× 5 = 15 (불가) ; 4× 4 = 16 (불가)

6STEP 6

합 9인 쌍 (3,6)→18, (4,5)→20. 3 × 6 = 18이 6의 배수라 합 9 가능, (E) 제외.

3× 6 = 18 ✓ ; 4× 5 = 20 (불가)

7STEP 7

A, C, D, E는 곱이 6의 배수인 쌍이 있어 제거되고 (B)만 남으니, 6은 합이 될 수 없다.

제거됨: 5, 7, 8, 9 → 불가능한 합 = 6 → (B)

정답

왜 하필 합 6만 불가능할까? 6의 배수이려면 곱 안에 2의 배수와 3의 배수가 모두 들어 있어야 한다. 주사위에서 3의 배수는 3과 6뿐인데, 한쪽 눈이 6이면 다른 눈은 6 - 6 = 0이 되어야 해서 불가능하다. 한쪽 눈이 3이면 다른 눈은 6 - 3 = 3인데 곱 3 × 3 = 9에는 2의 배수 인수가 없다. 따라서 합이 6인 어떤 쌍도 2와 3을 동시에 공급할 수 없어, 경우 분석과 구조적 이유가 일치한다. 답 (B) 6은 옳다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 배수·약수 개념만 알면 풀 수 있어요!

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