경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2024 · #8

학년 4 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

pattern-recognitionsystematic-enumeration tree-enumerationsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmental-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

태오는 월요일에 2달러를 가지고 있고, 매일 두 가지 행동 중 하나를 한다: '3달러 더하기' 또는 '돈을 두 배로 만들기'. 월요일에서 3일 뒤인 목요일까지 행동을 세 번 한 뒤, 태오가 가질 수 있는 서로 다른 금액의 개수가 몇 가지인지 구해야 한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

행동이 매일 두 가지뿐이고 총 3일이므로 가능한 경로는 최대 2³ = 8개에 불과하다. 이 정도 크기는 빠짐없이 나열해서 직접 추적하는 것이 가장 안전하다(도구 #2). 매일의 가능한 금액을 가지에서 갈라지는 가지(나무 그림)로 그려 두면 중복과 누락을 한눈에 확인할 수 있다(도구 #1). 마지막에는 중복된 금액을 지워 서로 다른 금액의 수를 세는데, 이는 후보 목록에서 같은 값을 지우는 가능성 소거와 같다(도구 #3). 대수나 식 세우기는 필요 없다.

1STEP 1

화요일 금액 나열하기

월요일 2달러에 '+3'과 ' × 2'를 적용하면 2+3=5, 2 × 2=4이니 화요일 금액은 {4, 5}이다.

2 + 3 = 5, 2 × 2 = 4 → 화요일 ∈ {4, 5}

2STEP 2

수요일로 가지 뻗기

4→7,8과 5→8,10을 모으면 {7,8,8,10}에서 8이 겹쳐, 서로 다른 수요일 금액은 {7, 8, 10}이다.

4 &→ 4+3=7, 4 × 2=8 ; 5 &→ 5+3=8, 5 × 2=10 → 수요일 ∈ {7, 8, 10}

3STEP 3

목요일로 가지 뻗기

수요일 세 금액에 두 행동을 적용하면 목요일 목록은 {10, 14, 11, 16, 13, 20}, 즉 여섯 값이다.

7 &→ 7+3=10, 7 × 2=14 ; 8 &→ 8+3=11, 8 × 2=16 ; 10 &→ 10+3=13, 10 × 2=20

4STEP 4

서로 다른 금액 세기

여섯 후보는 모두 서로 다르므로 가능한 금액 수는 6, 곧 (D)이고 3, 4, 5, 7은 목록과 달라 제거한다.

{10, 11, 13, 14, 16, 20} → #서로 다른 금액 = 6 → (D)

주어진 규칙('+3 또는 × 2')을 반복 적용해 만들어지는 수열의 항을 생성하고 그 가짓수를 세는 일은 4학년 '수·도형 패턴 생성하기' 표준의 정수다.

목요일에 나올 수 있는 서로 다른 금액의 개수는, 3일 동안의 모든 행동 순서가 만드는 금액을 하나하나 적은 뒤 서로 다른 값만 한 번씩 세어 구한다.

▸ 왜?

테이가 목요일에 도달할 수 있는 모든 금액은 3일 동안 매일 두 행동 중 하나를 고른 결과이므로, 각 선택 순서의 결과를 적으면 나올 수 있는 모든 금액을 빠짐없이 담게 된다.

▸ 왜?

매일 두 행동 중 정확히 하나만 하므로, 전체 결과는 지금의 각 금액을 두 개의 다음 금액으로 갈라가며 하루씩 뻗어 만든다.

▸ 왜?

행동을 적용하면 다음 금액이 하나로 정해진다: 3을 더하는 것은 한 번의 합이고, 두 배로 만드는 것은 그 금액의 같은 묶음 두 개를 취하는 것이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

모든 금액을 두 개의 다음 경우로 갈라 나가면 빠지는 갈래도 없고 두 번 세어지는 갈래도 없으므로, 이 경우들을 모두 합치면 정확히 도달 가능한 금액 전체가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

서로 다른 두 행동 순서가 똑같은 금액에 도달할 수 있으므로, 서로 다른 금액을 셀 때는 몇 개의 순서가 도달하든 각 값을 한 번만 세어야 한다.

▸ 왜?

서로 다른 금액을 센다는 것은 각각의 다른 값을 하나의 세는 수와 짝짓는 것이므로, 여러 순서가 도달한 값이라도 전체 개수에는 하나만 더한다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

4.OA.C.5Eliminate Possibilities

정답

가능한 경로의 총 개수는 2 × 2 × 2 = 8개다. 만약 어느 경로도 같은 금액을 만들지 않았다면 답은 8이어야 하지만, 우리는 수요일에 8달러로 합쳐지는 경로 두 개(4 → 8과 5 → 8)가 있음을 확인했다. 이 합쳐진 경로는 결국 목요일의 후보 두 쌍을 같게 만들 잠재력이 있는데, 실제로 목록 {10, 11, 13, 14, 16, 20}을 보면 추가 중복은 없고 한 번의 합침만 살아남아 8 - 2 = 6가지가 된다. 따라서 답 6은 경로 수 계산과도 일치한다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 '규칙에 따라 수열 만들기'만 알면 풀 수 있어요!

화요일 금액 나열하기
수요일로 가지 뻗기
목요일로 가지 뻗기
서로 다른 금액 세기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

화요일 금액 나열하기

수요일로 가지 뻗기

목요일로 가지 뻗기

서로 다른 금액 세기

비슷한 유형 더 풀어보기