AMC 8 · 2024 · #9

학년 4 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

ratio-proportionmultiplespattern-recognition pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmultiples

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

마리아의 구슬은 모두 빨강, 초록, 파랑 중 하나입니다. 빨강의 개수는 초록의 절반이고, 파랑의 개수는 초록의 두 배입니다. 보기 24, 25, 26, 27, 28 중에서 전체 구슬 개수가 될 수 있는 것을 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

G 가 짝수여야 한다는 점을 깨닫고 나면 가장 작은 짝수 G = 2 부터 차근차근 넣어 보는 #6 추측하고 확인하기 가 가장 자연스럽습니다. 몇 개만 만들어 보면 전체 개수가 7, 14, 21, 28, … 로 7씩 늘어나는 #5 패턴이 보입니다. 객관식 문제이니 마지막에 #3 가능성 지우기 로 보기 다섯 개 중 7의 배수인 것만 남기면 답이 확정됩니다. 대수(x 변수)를 쓰지 않고도 ‘직접 만들어 보는’ 방식으로 풀 수 있어 더 직관적입니다.

1STEP 1

빨강은 초록의 절반이라 초록은 짝수여야 하고, 가장 작은 짝수 G = 2 → R = 1, B = 4 입니다.

G = 2 → R =

\frac{1}{2}

· 2 = 1, B = 2· 2 = 4

2STEP 2

세 색을 모두 더하면 가장 작은 총 개수는 1 + 2 + 4 = 7 입니다.

T = 1 + 2 + 4 = 7

3STEP 3

G = 4, 6, 8 을 넣으면 합이 14, 21, 28 로 7씩 커져, 가능한 총 개수는 모두 7의 배수입니다.

T ∈ {7, 14, 21, 28, 35, …} = {7k : k ≥ 1}

4STEP 4

보기 중 28 = 7 × 4 만 7의 배수이고, (R,G,B) = (4,8,16) 으로 확인됩니다.

28 = 7 × 4 → (E) 28

정답

답 28 을 다시 원래 비율에 넣어 확인합니다. 초록 8, 빨강 4(= 8 ÷ 2, 초록의 절반 ✓), 파랑 16(= 8 × 2, 초록의 두 배 ✓), 합 4 + 8 + 16 = 28 ✓. 세 개수가 모두 자연수이므로 조건을 모두 만족합니다. 또한 빨강 1, 초록 2, 파랑 4 한 묶음이 7개이고, 한 묶음을 k 번 모았을 때만 전체 개수가 만들어지므로 7의 배수인 28 외에 24, 25, 26, 27 은 불가능합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 곱셈적 비교와 7의 배수만 알면 풀 수 있어요!

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